【数学】4.1.1 圆的标准方程(人教A版必修2)1PPT课件

复习引入
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
M r
A
O
x
引入新课
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本要素是圆心和半径． 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐
标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心A (a,b) 的距离．
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
y
M3
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ． y
把 M1(5,7的) 坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25 左右两边相等，点M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,的1) 坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这 个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法 来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
p M || MA | r
y
M (x, y) r
A(a,b)
ห้องสมุดไป่ตู้
O
x
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
根据两点间距离公式：P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
p M | MA | r
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r 2
圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r 2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
y 1 1(x 3) 23 2
即x 3y 3 0
圆心C的坐标是方程组
x 3y 3 0
x
y
1
0
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解： 解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
M3
o
x
M2 A
M1
典型例题
例2 的AB三C个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －
8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r 2 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标 都满足方程（1）．于是
得：
(x 0)2 ( y 0)2 r 2
整理得：
x2 y2 r2
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1(5,7，) M 2 ( 5,1是) 否在这个 圆上．
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带 入圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2
圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程
判断点与圆 的位置关系
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
( 3 , 1), 直线AB的斜率: 22
21 kAB 2 1 3
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
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结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
典型例题
例2 的AB三C个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －
8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆．
解： 解此方程组，得：
a 2, b 3, r 2 25.
所以，AB的C外接圆的方程 (x 2)2 ( y 3)2 2．5
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B 两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l ' 上．又 圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 l ' 的交点，半径长 等于|CA|或|CB|．