第六章参数估计答案课件

4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
2
二、计算题
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求
解： （1）矩估计
E(x) 0xexdx1
解得矩估计量为 ˆ 1 X
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2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取百度文库个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
解：（2）似然函数为：
n
n
L() exin exi
i1
i1
n
lnL()nlnxi i1
令dlndL ()ni n1xi 0
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ)
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D( ˆ1)D( ˆ2) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值 E(X)
是 总体方差 D(X) 的无偏估计量。
的无偏估计量。样本方差 S 2
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (2) 最大似然估计,似然函数为
n
n
L() xi1n( xi)1
i1
i1
n
lnL()nln(1)lnxi i1
令 dln d L ()1(1)i n1lnxi 0
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
i1
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6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f(x;)21ex, x ,
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1,x2, ,xn,求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(X2)21
x
x2edx 1
x
x2e dx
0
2 0x2exdx 2(3) 22
参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
(1) EX mp(1p)m1 p m(1p)m1
m1
m1
而 qm q
m1
1q
∴
mqm1
1
1
m1
(1q)2 p2
∴ EX 1 p
令
1
p
1n n i1 X i
X
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
3
n
(2)
似然函数为：L(p)
n
p(1 p)xi1
极大似然估计值为： ˆ 1 X
6
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p)，这里 0 p 1. 现从总体中抽取了一个样本 X1,, X n ，
试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解：似然函数为： L (p)n pxi(1p)1xi p i1xi(1p)n i1xi
i1
n
n
lnL (p)( xi)pn xiln (1p)
i 1
i 1
n
令dlnL(p) n
dp
i1
xi
n xi i1
1p
0
得 p的极大似然估计值为：pˆ X
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4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 X1, X 2, , X n ，求参数 a, b 的矩估计量.
解：
b1
1b 2 a 2 a b
E (x )x d x
a b a b a 2 2
E (x 2 )b x 2 1d x 1b 3 a 3 a 2 a b b 2
a b a b a3
3
按矩法得方程组 a b 1 n
2 n i1 xi
a 2 ab
3
b2
1 n
n i1
x
2 i
解得矩估计量为
aˆ 2 X
3 n
n i1
x
2 i
4X
2
bˆ
3 n
n i1
x
2 i
4X 2
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5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E(x)0 1xx1dx1
参数θ的矩估计值为
ˆ X 1 X
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5. 设总体 X 的概率密度为
解 由题意得 cd1
D (ˆ)(2c2d2)D (ˆ2)
即要求 2c2 d2 达到最小值
从而解得
c 1 ,d 2 . 33
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9、设 n 个随机变量
X 1，X 2 ，…，X n
ˆ
1 n
n
i 1
xi
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7、设总体
X
的概率函数为
p( x; )
axa1exa 0
x x
0 ，其中
0
0
是未知参数，a
0
是已知常数，
试
根据
来自
总体
X
的
简单
随机
样本
X
1
,
X
2
,
X
n
，
求
的
最大
似然估
计量
^
解：最大似然估计法
n
n
似然函数 L ()
a x ia 1 e x ia(a )n
xe a 1 x ia i
i 1
i 1
n
n
lnL ()n ln (a)(a 1 ) lnx i x ia
i 1
i 1
dlnL() n n
d
i1
xia
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
x
a i
i1
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8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使 ˆ cˆ1 dˆ2 为 的无偏估计，并使方差 Dˆ 最小.
xi n pn(1 p)i1
i1
ln L(p)nln pln 1 (p) n xin
n
i1
令dlnL(p)
n
i1
xi
n 0
dp p 1p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
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2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 X1, X2, , Xn ，求 矩估计量和最大似 然估计量.
第六章 参数估计
概率论与数理统计作业15（§6.1） 概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
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概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1.
若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p
(
xi
,
)
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi , 。)
令
E(X2)1 n ni1
Xi2
22
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 n
n i 1
xi2
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(2)最大似然估计法
似然函数
n
L()
i1
1
xi
e
2
1 n
1 i1
xi
2 e n
ln L () n ln 2ln 1i n 1xi
dld n L ()n12i n1xi 0
参数θ的最大似然估计值为