概率统计§13 等可能概型

思考题 把10个球等可能地放入3个盒子中, 求“每个盒子不空”的概率.
（二）样本空间点数以组合进行计算
一袋中装有N个球，其中m个红球，余下
为白球.从袋中任意取出n(n≤N)个小球，问恰
有k(k≤m)个红球的概率为多少？
这个模型不要求摸球的顺序，故用组合公
式进行计算.
所有可能的取法有C
n N
种.
而取出
n个球中恰有k个红球的抽取结果有
C
C k
m
nk N m
种，k 0,1,2, , m. 从而取出的n个球中恰有k
个红球的概率为
Pk

C C k nk m Nm Cn N
.
k 0,1,2, , m.
这个概率叫超几何概率，这种模型也叫超 几何概型.
例 一只箱中共装有100件某产品, 其中有8 件次品，余下为正品. 今从中任意取出5件， 求(1)至多一件次品，(2)至少二件次品的概率.
(2)B=“每个盒子中至多含有一球”的概率;
(3) C=“指定的某个盒子恰有k(k≤m)个球”
的概率.
Ck m
(N

1)mk
Nm
例 一个班上有50名学生，求“没有两人生 日相同”的概率(一年按365天计算).
例 一电梯开始上升时载有5名乘客，且这 5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯， 求：
（1）每层至多一人离开的概率； （2）至少有两人在同一层离开的概率； （3）仅有一层有两人离开的概率。
P( A) k . n
证明: 设 {1,2 , ,n },由题设知 P({1}) P({2 }) P({n }).由于基本事件 是两两不相容的,于是有
n
n
1 P() P({i }) P({i }) nP({i }),
i 1
i 1
Pr N
(
Ar N
)wk.baidu.com

N(N

1)
(N

r

1).
例 一袋中有7个白球和5个红球，从中摸 两次，每次一球.设A表示“至少一次取到红 球”，请在(1)有放回抽样,(2)不放回抽样条件 下求P(A).
例 从0，1，2，…，7共八个数中随机地 抽取4个数, 则它正好构成一个四位偶数的概 率.
1470，750，0.5102
作业 P3-4
例 10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取 两把，求能打开门锁的概率？
1.3.2 几何概型 一个随机试验，若所有可能结果“等可能”
地出现在一个有界的欧氏区域内，则称这个 试验的概率模型为几何概型.
例 随机地在单位圆内任掷一点M,求M点 到原点距离小于1/4的概率.
定义 设为欧氏空间的一个区域,以m() 表示的度量(一维为长度,二维为面积,三维为 体积).A 是中一个可以度量的子集,定义
例1.9 (抽签问题) 一袋中有m个白球，l 个黑球，现从中不放回地依次摸球，则第k (1≤k≤m+l)次摸到白球的概率为多少？
定理 设有 m个(不同的,编好号码的,相同的
)球每个球等可能地落入N(N≥m)个盒子中,求
(1)事件A=“某预先指定的m个盒子各含一
球”的概率；m! N m
Pm N
Nm
即得
P({i }) 1/ n, i 1,2, , n.
由于事件A中有k个样本点，不妨记
A {i1 ,i2 , ,ik },则
P(
A)

k

j 1
P ({ i j
})

k. n
问题：是不是样本空间为有限集的概率模 型就是古典概型呢？
例 把一枚质地均匀的骰子抛掷两次，设 A表示“点数和为10”，求P(A). 注 在处理古典概型问题时，必须注意样本点
P( A) m( A) (1.9) m()
为事件A发生的概率,它叫几何概率.
例1.12(会面问题)甲、乙相约在早晨7点到 8点钟在某处见面，先到者等候15分钟，过时 不候，求两人能见面的概率.
例 某货运码头仅能容一船卸货,而甲,乙两 船在码头卸货时间分别为1小时和2小时.设甲, 乙两船在24小时内随时可能到达,求它们中任 何一船都不需等待码头空出的概率.
§1.3 等可能概型
等可能概型是指在一次试验中，样本空间 的每个样本点被取到的可能性相等的随机试 验类型.
1.3.1 古典概型 古典概型基本特点: 1.试验的全部可能结果是有限个，即样本空
间是一有限集； 2.每次试验中，各样本点出现的可能性相同，
即每个基本事件发生的概率相等.
定理 在古典概型中，设样本空间有n个 样本点， A是中的事件且A中有k个样本点, 则事件A发生的概率为
的等可能性.
在计算古典概型时，所使用的基本工具(或 者说基本方法)是排列组合计算法，所使用的 基本模型是“摸球”模型. （一）样本空间点数以排列进行计算
设一袋中有N个编好号码的小球，从中抽 取r次，每次一球. 抽取方法有两种：(1)有
放回抽取，即每次取出一球记下号码后放回 袋中，混合后再进行下次抽取. 这时的样本 点总数为 N r个. (2)不放回抽取，即每次取出 一球后不再放回又抽取下一球，这时的样本 点总数为
例1.10 30只元件中有27只一等品，3只二 等品.随机将30只元件均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率；
1
2
3
对于古典概率的计算，基本工具是排列组 合，计算时，首先应分清题目是否要求有顺 序,若有,还应进一步分是属于放回或不放回抽 样;若不要求有顺序,则一般可用超几何分布的 思想.有时,还应考虑对立事件或应用概率的性 质.
例 试用概率含义解释组合公式 “Cnr Cnr1 Cnr11”.
例 把C,C,E,E,I,N,S这7个字母随机排成一 行,求恰好排成英文单词SCIENCE的概率.
例 把10本书随机地放入书架，则其中一 套三卷书（从左到右依顺序）放在一起的概 率为( ); (A)8!/10! (B)28!/10! (C)27!/10! (D)7!/10!