假设检验的基本思想

假设检验的基本思想

统计推断的另一类重要问题是参数的假设检验．它是根据样本的信息来判断总体

分布是否具有指定的特征，在管理方面有时称之为古典决策．在质量管理中经常要用

到它，例如检验新产品质量是否有显著提高；又如利用各种控制图判断工序是否出现

异常现象等．

在数理统计中，我们把需要用样本去判断正确与否的命题称为一个假设．根据研

究目的提出的假设称为原假设，记为H0；而其对立面假设称为备择假设(或对立假设)，记为H1．

提出了“假设”之后，就要用适当的统计方法来决定是否接受假设，这叫做假设

检验或称统计假设检验．

在许多实际问题中,总体分布的类型为已知,仅其中一个或几个参数为未知,只要将一个或几个未知参数作出假设,就可以确定总体的分布,这种仅涉及到总

体分布的未知参数的统计假设称为参数假设,相应的检验方法称为参数假设检验.如果不知道被研究总体分布的具体类型,只能对未知分布函数的类型或者它的某些特性提出某种假设,这种不同于参数假设的假设称为非参数假设,相应的检验

方法称为非参数统计检验.在本节中我们只讨论参数假设检验问题.

下面举例说明参数假设检验的基本思想.

例3.8.1某厂为了提高其产品电池的寿命进行了工艺改革．从生产的一大批产品

中随机抽取10只，测得其样本均值，已知旧工艺条件下的电池寿命服从

正态分布N(200, 52)，试问新产品的寿命与旧产品的寿命是否一致.

解．一般说来,工艺条件的变化只影响均值而对方差影响不大．因此,可以认为新

产品寿命X服从正态分布N(μ, 52)，μ是未知的, 而μ=200是否成立也是未知的．我们

已知μ的估计值，，能否说μ>200呢？不能．因为样本均值是

随机变量，若再抽10个产品，其平均寿命可能小于200，随机变量与常数之间不能比

大小．那么如何利用样本信息对假设μ=200或μ≠200做出推断呢?

如果原假设μ=200成立，那么X ～N(200, 52)，从而由单个总体的抽样分布中的结论有

～N(200, 25/10)

统计量～N(0, 1)，

对于给定的α=0.05,

令

或

为保证服从标准正态分布的统计量U落在[-Uα/2, Uα/2]区域内的概率为0.95%，因此查标准正态分布函数数值表有Uα/2 =1.96.

由于的观测值，因此统计量U的观测值u0满足

而由前可知:

是一个小概率．这就意味着，若原假设H0: μ=200成立，那么由抽出的样本观测值计算出的统计量U的观测值|u0|大于1.96的可能性只有5%，而现在它在一次抽样中，竟发生了这种情形，这是不合理的，产生这种不合理的根源在于假设H0: μ=200不合理，因此拒绝H0，而接受H1: μ≠200.

假设检验所依据的基本原理是小概率原理.“小概率事件在一次试验(或观测)中几乎是不可能出现的.”

至于什么算“概率很小”,在检验之前都事先指定,比如5%、1%等,即在检验给

定的一个假设中,所犯的第一类错误的概率,我们把它称为检验的显著性水平或检验水平,这个概率通常用α来表示,它是事先指定的小的正数.

对原假设H0的一个检验就是指定一个规则,它根据所选定的统计量的值来决定拒

绝H0或接受H0,这种检验规则常用拒绝域的形式给出,即按照统计量的值, 把样本空间分成拒绝H0的区域(称为拒绝域)和接受H0的区域(称为接受域),如例3.8.1图中的阴影

部分为拒绝域,其他部分为接受域.

作假设检验时,用来作为拒绝域和接受域的分界线的数值(如例3.8.1中的Uα/2

=1.96和-Uα/2 =-1.96)称为临界值, 即临界值的一边是拒绝域,一边是接受域,因此为了

求检验的拒绝域,就只需求出检验用的临界值.

强调指出,假设检验的结论与选取的显著性水平α有密切的关系.因此必须说明假

设检验的结论是在怎样的显著性水平下做出的.

假设检验有双侧假设检验和单侧假设检验之分.