高中数学第4章对数运算与对数函数章末综合提升课件

C [由于f(x)与g(x)互为反函数，所以它们的图象应关于直线y＝ x对称，由此，可排除A，D.
又f(3)>0，而f(3)·g(3)<0， 则g(3)<0， 据此可知C正确，故应选C.]
[跟进训练] 2．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是 ()
A
B
C
D
C [因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)
函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的 个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用 数形结合思想，使问题简单化．
对数函数的性质及应用
角度一 比较大小
【例4】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－
∞，0]上是增函数，设a＝fln
13，b＝f(log43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，
x－y＞0，
∵x＞0， y＞0，
∴xy＞1，
∴xy＝3＋2 2，
∴log(3－2
2)xy＝log(3－2
(3＋2
2)
2)＝log(3－2
1 2)3－2
2＝－1.
对数式的化简与求值的两种思路 (1)利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式，然后正 用对数运算法则化简． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对 数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
c的大小关系是________．
c＞b＞a [∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－
∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f
ln
1 3
＝
f(－ln 3)＝f(ln 3).
∵ln
3>ln
e＝1，
1 2
＝log42<log43<log44＝1，0<0.41.2<
1 2
[跟进训练] 5．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在 [0，1]上是关于x的减函数，若存在，试求a的取值范围．
[解] ∵a>0，且a≠1,
∴u＝2－ax在[0，1]上是关于x的减函数．
又fx＝loga(2－ax)在0，1上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈
故当a＞1时，得a－1≤31≤a，即a≥3； 当0<a<1时，a－1≥13≥a，得0<a≤31. 综上所述，a的取值范围是0，13∪[3，＋∞).
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝
|ln x|，0<x≤e， 2－ln x，x>e，
若a，b，c互不相等，且f(a)
＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
第四章 对数运算与对数函数
章末综合提升
巩固 层知 识整 合
提升 层题 型探 究
对数的运算
【例1】 (1)求值：21lg 3429－34lg 8＋lg 245.
(2)已知2lg
x－2 y＝lg x＋lg y，求log(3－2
x 2)y.
[解]
(1)原式＝12(lg
32－lg
49)－43lg
3
故函数y＝f
x
的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于
x轴．
(3)因为fx在(0，＋∞)上是增函数，
所以当x∈(1，＋∞)时，fx>f1.
这样只需f1＝lg a－b≥0， 即当a≥b＋1时，fx在(1，＋∞)上恒取正值．
指数函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、 减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通 过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数来研究．
[跟进训练]
1．(1)log2.56.25＋lg 10100＋ln e＋21＋log23的值是(
)
A．92
B．121
C．123
D．125
(2)已知 ab＝M(a>0, b>0, M≠1), 且logM b＝x，则logM a＝( )
A．1－x
B．1＋x
C．1x
D．x－1
(1)B (2)A [(1)原式＝2－3＋12＋6＝121. (2)由logM b＝x，得b＝Mx， 则a＝Mb ＝M1－x， 所以logM a＝logMM1－x＝1－x.]
，∴
0.41.2<log43<ln 3，故f(0.41.2)>f(log43)>f(ln 3)，即c>b>a.]
对数函数大小比较的一般规律 (1)当底数相同时，用对数函数的性质直接比较； (2)当底数不同，真数相同时，用图象作比较； (3)当底数和真数都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数 或真数，常用“0”或“1”作为中介数．
x
的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的
直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，fx在(1，＋∞)上恒取正值？
[解]
(1)由ax－bx>0得
a b
x
>1，且a>1>b>0，得
ab>1，所以x>0，即
fx的定义域为(0，＋∞).
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2，bx1<bx2，
[跟进训练] 4．比较log0.57与log0.67的大小． [解] 在同一直角坐标系内作出对数函数y＝log0.5x和y＝log0.6x的 图象，可得log0.57>log0.67.
角度二 函数性质综合应用
【例5】 已知函数fx＝lg ax－bxa>1>b>0. (1)求函数fx的定义域；
(2)在函数y＝f
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0，1
时，u＝2－ax恒
为正数．
其充要条件是2a－＞a1＞0即1＜a＜2. ∴a的取值范围是(1，2).
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函数图象及其应用 角度一 由解析式判断函数图象 【例2】 已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的 ()
A
B
C
D
[思路点拨] 本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与 对数函数的关系．可利用排除法进行判断．
22＋lg
1
2452
＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝52lg 2＋12lg 5－2lg 2
＝12(lg 10－lg 5)＋12lg 5＝12.
(2)由已知得lg x－2 y2＝lg xy， ∴x－2 y2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. ∴xy2－6yx＋1＝0. ∴xy＝3±2 2.
＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0，2).因此选C.]
角度二 应用函数图象研究函数性质 【例3】 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的 x∈13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图示，要使x∈13，2时恒有|f(x)|≤1， 只需f13≤1，即－1≤loga13≤1，
所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，
即lg
ax1－bx1>lg
ax －bx ，故f x >f x ，
2
2
1
2
所以fx在(0，＋∞)上为增函数；
假设函数y＝f
x
的图象上存在不同的两点A
x ，y
1
1
，B
x ，y
2
2
，使
直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与fx是增函数矛盾．
[解] 函数f(x)的图象如图： 设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m， 不妨设a<b<c，则直线y＝m与f(x)交点横坐标 从左到右依次为a，b，c，由图象易知0<a<1<b<e<c<e2， ∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b. ∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1. ∴abc＝c∈(e，e2).