八上数学第一章《勾股定理》复习导学案

第一章 勾股定理
一、知识点梳理
（一）直角三角形中角的关系 直角三角形 。

（二）直角三角形边的关系（即勾股定理） 1．定理：如果用a 、b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 。

2．注意事项：使用勾股定理一定要先判断此三角形是否是 三角形，再区分 边和 边，最后用勾股定理求出第三边。

3．基本格式示范：
【例题】已知在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，
5BC =，求AC ．
解：∵ 在Rt △ABC 中，3AB =，5BC = ∴2222534AC BC AB =
-=-=
答：AC 的长为4． 4．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在△ABC 中，若∠C=90°，则22
c a b =+，a= ，） （2）已知直角三角形的一边及另外两边的关系，求直角三角形的另两边；
（3）利用勾股定理证明线段之间的平方及图形之间的面积关系。

【例】（2019秋•龙湾）如图，以Rt △ABC 的三条边作三个正三角形，则S 1、S 2、S 3、S 4的关系为（ ）A ．S 1+S 2+S 3＝S 4 B ．S 1+S 2＝S 3+S 4 C ．S 1+S 3＝S 2+S 4 D ．不能确定
（三）勾股定理的证明（拼图面积法） 1．用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

2．常见方法如下（请根据图形写出证明）： 方法一：
方法二：
方法三
（四）直角三角形的识别方法（勾股定理的逆定理） 1．逆定理：在△ABC 中，若 ，则△ABC 为直角三角形，且∠C=90°。

2．基本格式示范：
【例题】已知在△ABC 中，3AB =，4BC =，
5AC =，判断△ABC 的形状．
解：△ABC 为直角三角形，理由如下： ∵在△ABC 中，
22223491625AB BC +=+=+=， 22525AC ==
∴222AB BC AC +=
∴△ABC 为直角三角形，且90B ∠=︒ 3．逆定理的作用
（1）逆定理通过边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形；
拓展：若222a b c =+，则△ABC 为 三角形，且∠ =90°； 若222c a b >+，则△ABC 为 三角形，且∠C 为 角； 若222c a b <+，则△ABC 为 三角形； （2）判断两条直线或线段互相垂直。

【例】如图，等边三角形ABC 内一点P ，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数.（写思路即可）
（五）常见勾股数
1．满足勾股定理的三个正整数．．．a 、b 、c 称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，
c
b
a
H
G F E
D
C
B A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b a b
c
c b
a
E
D C
B
A
则这个直角三角形的面积为。

A（0，7），B（8，1），C（x，0）．
（1）线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代
数式22
16(4)1
x x
+--+的最大值．
2．立体图形上的最短距离问题通常转化为平面图
形上的最短距离问题。

【例题】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高
ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点
A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行
的最短路程．
【变式1】棱长为3cm的正方体，把所有面都分为
9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每
秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧
面的B点，最少要花几秒钟？
【变式2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A
出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
1
C处（三条棱
长如图所示），怎样走路线最短？最短路线为多
少？
（六）构造直角三角形辅助解题
在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常
常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三
角形问题来解决．
【例题1】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，
AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC
边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段
EF的长。

【变式】如图，△ABC中，AB=5，AD=6，AC=13，
D为BC的中点，则BC= S△ABC=
【例题2】如图，已知：在中，，
，. 求：BC的长.
【变式1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，
BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，
DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的
面积．
【变式2】在△ABC中，AB=30，BC=28，AC=26．求
△ABC的面积．
【例3】如图，已知：，，
于P. 求证：.
【变式】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=6，BC=2，D为AB上的点，E为AC上的点，ED
垂直平分AB，求AB、AE的长．
【例4】．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一
动点，且BC=a，AB=b；填空：当点A位于时，
线段AC的长取得最大值，且最大值为（用
含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4，
AB=2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边
三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①
请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②
直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的
坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线
段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请
直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．A
B C。