高等数学 导数概念 导数与微分

y
f ( x0 )

M

o
x0
x0 x
x
◆导数 Derivative的概念
定义 设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的某个邻域内有定
义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x
仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量
△y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与△x之比当
把 x0 换成 x , 可得
y f ( x)
dy dx
df ( x ) dx
f ( x0 ) f ( x) |x x0
点导数与导 函数的关系
f ( x x) f ( x) y lim x 0 x
或
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h
△x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可 记为 。 f ( x0 )
导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数，
若这个极限不存在， 则称在点x0 处不可导。
f ( x0 x) f ( x0 ) y 即 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
也可记作
y
x xo
dy dx
x x0
df ( x) dx
x x0
在引例中有
V (t0 ) S (t0 ),
K切 f ( x0 )
◆导数定义式的不同形式
用 h 代替 x
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) lim h 0 h
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0
导函数的定 义式
和差化积 sin sin 2 sin

2
cos

2
sin sin 2 cos

2
2
2
sin

2
cos cos 2 cos
cos cos 2 sin

cos

2
2
Fra Baidu bibliotek
sin

差商
y f ( x0 ) lim x 0 x
导数实际是函 数变化率的精 确描述,反映 了函数关于自 变量变化的快 慢程度
f ( x0 h) f ( x0 ) lim 与 f ( x0 ) 有什么关系？ h 0 h
解答
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) lim lim (-1) h 0 h 0 h h
2.1 导数的概念
2.1.1 引例 1、导数概念的物理背景——即时速度问题 如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度不 变;如果质点做变速直线运动，运动方程为 S=S(t),该如 何确定某一 时刻 t 0 的即时速度 V (t0 ) 呢？ 先求一段时间内的平均速度
设在[t0 , t0 t ]时间段内
高等数学
第二章 导数与微分
• 微分学是微积分的重要组成部分，它的基 本概念是导数与微分。物理学、医学等许 多重要问题的解答依赖于高数中这两个概 念。 • 本章的主要内容就是建立这两个概念，并 推导出求函数的导数和微分的一般法则以 及初等函数的求导方法，从而展现导数和 微分的应用
导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton
S S (t0 t ) S (t0 )
质点所发生的位移除以所花的时间△t, 得到平均速度， 即
S (t0 t ) S (t0 ) S V t t
直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。 极限思想：令 t 0 ，取平均速度的极限，则可得 到在t0时刻的即时速度，即
= f ( x0 )
◆导函数的概念
若函数 y=f (x) 在开区间 I 内的每点处都可导， 就称函数 y=f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对于任 意 x ∈I , 都对应着一个确定的导数值，这样构成了
一个新的函数，这个函数称为原来函数 y=f (x) 的导函
数（简称导数derivative），记作：
还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为
微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志
上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 .
他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计
数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .
德国数学家 Leibniz
微分学 导数 描述函数变化快慢
微分
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文
学家和自然科学家. 他在数学上的卓越
贡献是创立了微积分. 1665年他提出正
流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他
点 M 靠拢时， 即当N M 时， x x0 ,
割线MN 切线MT
上述过程可用极限式表示如下：
K切线 lim （K割线）
x 0
f ( x0 x)
y
y f ( x)
N
T
x
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
两例共性，均为增量之比的极限
S (t0 t ) S (t0 ) V (t0 ) lim t 0 t
2、导数概念的几何背景——曲线的切线问题 问题：如右图所示，已知曲线及曲线上 的一点M , 如何确定曲线在点 M 处的
M T N
切线斜率？
切线：割线的极限位置。 过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定
2.1.2、利用定义求导数举例
例1 求常值函数 f ( x) C (C为常数） 的导数。
解 f ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x ) C C lim lim 0 0 h 0 h 0 h h

2
的导数。
所以常数的导数等于零，即 C 0 例2 求正弦函数 f ( x) sin x 的导数及 x 解