离散数学高概率考试题

(2)（高概）证明若S为集合X上的二元关系：

a)S是传递的，当且仅当(S∘S)⊆S

证明：

必要性

任取序偶∈S∘S,则存在c∈X,使得

∈S∧∈S,因为S传递，故

∈S,即S∘S⊆S.

充分性

对任意序偶∈S∧∈S,有

∈S∘S,

因为S∘S⊆S,故有∈S,S传递.

(3)（中难）设S为X上的关系，证明若S是自反的和传递的，则S∘S=S。证明: S传递⇔S∘S⊆S;

以下只需证明S⊆S∘S.

∀∈S, 因为S自反，有∈S,

由关系合成运算的定义，有∈S∘S，

即S⊆S∘S。

本命题的逆不真，举反例如下：

空关系ϕ满足ϕ∘ϕ=ϕ, 但ϕ仅传递而不自反。

(6)（中概低难）设R为集合X上的二元关系，R在X上反传递⇔

∀x∀y∀z(x∈X∧y∈X∧z∈X∧xRy∧yRz→x Rz)

当且仅当(R∘R)∩R=φ。

证明：

必要性

任取序偶∈R∘R,则存在c∈X,使得

∈R∧∈R,因为R反传递，故

∉R,即R∘R中任何序偶都不属于R，

因此(R∘R)∩R=φ.

充分性

对R中任意序偶aRc∧cRb,有∈R∘R,

因为(R∘R)∩R=φ,故∉R，

因此，R反传递.

(8)(中概中上难度)设R,S,T为集合X上的关系，证明

R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T

证明：a)任取序偶∈R∘(S∪T),

则存在c∈X,使得

∈R且∈S∪T,

若∈S,则∈R∘S,

若∈T,则∈R∘T,

故∈R∘S∪R∘T,即R∘(S∪T)⊆R∘S∪R∘T.

b)任取序偶∈R∘S∪R∘T,

则有∈R∘S或∈R∘T,

若∈R∘S,则存在c∈X,使得

∈R且∈S,

若∈R∘T,则存在d∈X,使得

∈R且∈T,总之，

存在y∈X,使得∈S∪T且∈R,

故∈R∘(S∪T),即R∘(S∪T)⊇R∘S∪R∘T.

综合a)和b)，有R∘(S∪T)=R∘S∪R∘T.

3-8 （2）算闭包。高概

3-10

(4)（高概）设R是一个二元关系，设S={|对于某一c，有∈R且∈R}。证明若R是一个等价关系，则S也是一个等价关系。

证明：显然，S=R∘R。为方便讨论，设R为X上二元关系。

自反性

∀x∈X,R自反,有∈R，于是∈R∘R,即R∘R自反;

对称性

若∈R∘R,则存在x∈R，使aRx且xRb。由R对称，知bRx且xRa，故∈R∘R，R∘R是对称的;

传递性

若∈R∘R且∈R∘R，则

存在x1,x2∈X,使

aRx1且x1Rb

bRx2且x2Rc,

R传递，知aRb且bRc，于是∈R∘R，即R∘R传递。

综上所述,R∘R为X上等价关系。

(5)（超高概率）设正整数的序偶集合A，在A上定义的二元关系R如下：<,>∈R当且仅当xv=yu,证明R是一个等价关系。

证明：由已知R⇔xv=yu

⇔x/y=u/v

自反性

∀∈A, 因为a/b=a/b,故

R, 即R自反；

对称性

若R, 则a/b=c/d,即c/d=a/b，

故R，即R对称；

传递性

若R且R，则

a/b=c/d且c/d=e/f，显然有a/b=e/f，故

R，即R传递。

综上所述，R是A上的等价关系。

(6)（低概率较易）设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在一个b，使在R之中，则R是一个等价关系。

证明：只需证明R是自反的。

∀a∈A,则∃b∈A,使aRb，由R对称，知bRa，由R传递，知aRa，故R自反。

(8)（主流考试题，超高概率）设C*是实数部分非零的全体复数集合，C*上关系R定义为：(a+bi)R(c+di)⇔ac>0，证明R是等价关系，并给出关系R的等类几何说明。

证明：a×a>0⇔(a+bi)R(a+bi),R自反;

(a+bi)R(c+di)⇔ac>0

(c+di)R(e+fi)⇔ce>0,

显然有ae>0,故(a+bi)R(e+fi)，R传递;

(a+bi)R(c+di)⇔ac>0⇔ca>0⇔

(c+di)R(a+bi),故R对称。

综上所述，R是C*上的等价关系。

关系R将C*划分为两种等价类，

[正实数+bi]R与[负实数+bi]R,

在复平面上，以垂直的虚数坐标轴为分界线，将复数分为左右两部分。

习题3-12

(1)（高概低难）答案: P的最大元：x1

最小元：没有

极大元：x1

极小元：x4,x5

{x2,x3,x4} {x3,x4,x5} {x1,x2,x3}

上界：x1 x1,x3 x1

下界：x4 无x4

上确界：x1 x3 x1 下确界：x4 无x4 (2)（超高概率）答案：

线(全)序；良序23

1

4

34

12 3

4

1

2

3

4

1

2