信号与系统分析基础--- 系统的单位冲激响应与单位样值响应

3．n阶系统的冲激响应
例1 一阶系统的冲激响应
v 求下图RC电路的冲激响应. （条件： c 0 0）
R
i C (t )
列系统微分方程：
RC d vC ( t ) dt vC ( t ) ( t )

(t )
C
v C (t )

t 0, t 0
RC d vC ( t )

t 3 t ht A1 A2 t A1 3 A2 t A1 e 9 A2 e ut


将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
A1 A2 (t ) 3 A1 A2 (t ) 0 u(t ) (t ) 2 (t )
u( t )
1 RC
iC ( t ) C
d vC ( t ) dt 1 R C
2 1 RC t
注意！
u( t ) 1 R
t
i c (t )
e
(t )
1 R
t
电容器的电流在 t=0时有一冲激，这就是 电容电压突变的原因

1 R C
2
方法：奇异函数项相平衡原理
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
1
(t ) C1 h
m
( t ) C n 1 h
1
( t ) C n h( t ) (t ) E m (t )
E 0
( t ) E 1
m 1
( t ) E m 1
(2)h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
求解h(n)
单位样值信号 n作用于系统：
hn 3hn 1 3hn 2 hn 3 n
当n 0时
hn 3hn 1 3hn 2 hn 3 0
特征方程
3 2
方程成为齐次方程
r 3 r 3r 1 0 ,
2.4 系统的单位冲激响应与单位样值响应
1 连续系统的单位冲激响应的确定
2 离散系统单位样值响应的确定
1 连续系统的单位冲激响应的确定 一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t ) 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t )
H
h(t )
2．一阶系统的冲激响应
求特征根
4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
h( t ) ( A1e
t
n 2, m 1, n m
冲激响应 求待定系数
A2e
3 t
)u( t )
奇异函数相平衡法 求0+法,
用奇异函数项相平衡法求待定系数
h( t ) A1 e
d r (t ) dt
2 2
4
d r (t ) dt
3r ( t )
d e( t ) dt
2e( t ) 的冲激响应。
解： 将e(t)→(t)，
d h( t ) dt
2 2
r(t)→h(t)
4 d h( t ) dt
2
3h( t )
d (t ) dt
2 ( t )
齐次方程
vC ( t ) 0
dt 冲激 t 在 t 0时转为系统的储能（由 vC (0 )体现），
t>0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。
求解
特征方程 RC 1 0
vC (t ) Ae
t RC
特征根

1 RC
u (t )
t 0时的解
x n

y n
求系统的单位样值响应。
列方程
n




3
hn
z
1
3
从加法器出发：
x n 3 y n 1 3 y n 2 y n 3 y n
z
1
1
z
1
yn 3 yn 1 3 yn 2 yn 3 xn

h1 3h0 3h 1 h 2 3 h2 3h1 3h0 h 1 6
代入hn C 1 n C 2 n C 3 得
2
C1
1 2
, C2
3 2 3
, C3 1
1 2 hn n n 1 un 2 2
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应会 简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
2 离散系统单位样值响应的确定
一．单位样值响应
(n)
系统
h(n)
即 n 作用下，系统的零状态响应，表示为 h n
h k 0 k 1,2,3, N
例 3
已知系统框图，
r 13 0
特征根
r1 r2 r3 1
hn C1n C 2 n C 3
2
如何求待定系数？
零状态
可叠代出 0, h1, h2 h
先求边界条件
h 1 h 2 h 3 0 h0 3h 1 3h 2 h 3 0 1
2e( t )
r (t ) 4 r (t )dt 3 r (t )dt e(t )dt 2 e(t )dt
e(t )


2 4
r (t )

3
总结
再一次明确冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况 h 下加同样的激励 t ，看响应 h(t )。 (t ) 不同说明其系 统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 冲激响应的求解至关重要。
n it h( t ) Ai e u( t ) i 1
②与n， m相对大小有关 当n m 时，ht 不含 t 及其各阶导数；
当n m 时，ht 中应包含 t ； 当n〈m 时，ht 应包含 t 及其各阶导数；
例2
求系统
t
整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA ( t ) ( t )
RCA=1

A=1/RC
3．n阶系统的冲激响应 (1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0 E0 d r (t ) dt
m n n
C1
d
n 1
r (t )
n 1
dt d
C n 1
RC d vC ( t ) dt vC ( t ) ( t )
t RC
vC ( t ) Ae
d vC ( t ) dt
t
u( t )
1 RC t
A ( t )
A RC
e
u( t )
1 RC RC u( t ) RCA ( t ) Ae RC u( t ) ( t ) Ae RC

t
A2 e
3 t
u(t )
t 3t 1 2
t 3 t t 3 t h ( t ) A1e A2 e ( t ) A1e 3 A2 e u( t )
A A ( t ) A e 3 A e u( t )
1 2
对于求h( n)，边界条件中至少有一 项是n 0的。
下面的问题是确定系数A。
方法：奇异函数项相平衡法，定系数A。 A=1/RC
vC (t ) 1 RC
1 RC t
e
u (t )
即:
h (t )
1 RC

1 RC
t
e
u (t )
波形
波形
ht vC ( t ) 1 RCຫໍສະໝຸດ Baidu
1 RC t
v c ( t ) h( t )
e
d r (t ) dt
C nr (t ) E m e( t )
d e( t ) dt
m
m 1
E1
e( t )
dt
m 1
E m 1
d e( t ) dt
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
C0h
n
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
n 1
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
根据系数平衡，得
h( t ) 1 2
e
1 A1 A1 A2 1 2 1 3 A1 A2 2 A 2 2
3t
t
e
u(t )
系统框图
d r (t ) dt
2
2
4
d r (t ) dt
3r ( t )
d e( t ) dt