模糊数学——模糊矩阵运算
模糊矩阵乘法计算过程
模糊矩阵乘法计算过程模糊矩阵乘法计算过程一、什么是模糊矩阵模糊矩阵，也叫做模糊数组，是一种特殊的矩阵，其中的元素均为模糊数字。
模糊数的权值的范围从0到1，它代表着一个东西在给定的范围内隶属程度，或者说与另一个东西的相似程度。
存在着一系列分布在0-1之间，并且每一个隶属度值表示可以能量级或强度级，它们代表已经知识的信息来衡量客观事物的隶属程度。
二、模糊矩阵乘法是怎么运算的模糊矩阵乘法的计算公式是：A×B=C，其中A为m×n的模糊矩阵，B为n×k的模糊矩阵，C为m×k的模糊矩阵。
模糊矩阵乘法的计算过程如下：（1）将元素乘积向量和中的每个元素作模糊最大化操作，即C（a，b）=max（aij*bjm）；（2）每个乘积最大化后，将该元素加入结果向量vectorC，即C(vector C)=C(A,B)+1；（3）最后，将vector C转换成m×k的矩阵C；三、模糊矩阵乘法应用模糊矩阵乘法在模糊控制、线性规划、信息系统、故障诊断等领域广泛应用。
例如，在模糊控制中，一组模糊规则如下：A：若X是中B：若Y是大采用模糊矩阵的乘法把这两个规则合成语句“X是中且Y是大”，即A×B=C，其中C就是合成的规则。
四、模糊矩阵乘法的改进在实际中，模糊矩阵的乘法受到了部分的改进与加强，如双模糊矩阵乘积和交叉模糊矩阵乘积。
1、双模糊矩阵乘积：若A×B=C，其中A和B都是模糊矩阵（即A（m×n）和B（n×k）都是模糊数据），C就是双模糊矩阵（m×k）。
双模糊矩阵乘积的计算公式为：C（aij，bjm）=aij*max（min（aij，bjm），max（0，1-bjm）+min（1，aij，bjm））。
2、交叉模糊矩阵乘积：若A×B=C，其中A和B都是模糊矩阵，C就是双模糊矩阵。
交叉模糊矩阵乘积的计算公式为：C（aij，bjn）=aij*max（min（1，aij，bjn），min（1-bjn，aij））。
模糊矩阵计算公式
模糊矩阵计算公式模糊矩阵是模糊数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
说起模糊矩阵的计算公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙。
先给您讲讲啥是模糊矩阵吧。
简单来说，模糊矩阵就是元素都在 0到 1 之间的矩阵。
比如说，咱有一个 2×2 的模糊矩阵 A，它可能是这样的：\[\begin{pmatrix}0.8 & 0.3 \\0.2 & 0.7\end{pmatrix}\]那模糊矩阵的计算公式都有啥呢？这里面最常见的就是模糊矩阵的合成运算啦。
设 A 是一个 m×p 的模糊矩阵，B 是一个 p×n 的模糊矩阵，那它们的合成 C = A o B 中的元素 cij 就等于：\[c_{ij} = \bigvee_{k=1}^{p}(a_{ik} \land b_{kj})这里的“∨”表示取大运算，“∧”表示取小运算。
就拿刚刚那个例子来说，如果 A 是\[\begin{pmatrix}0.8 & 0.3 \\0.2 & 0.7\end{pmatrix}\]，B 是\[\begin{pmatrix}0.6 & 0.4 \\0.5 & 0.1\end{pmatrix}\]，那它们合成之后的 C 就是：\[\begin{pmatrix}(0.8 \land 0.6) \vee (0.3 \land 0.5) & (0.8 \land 0.4) \vee (0.3 \land 0.1) \\ (0.2 \land 0.6) \vee (0.7 \land 0.5) & (0.2 \land 0.4) \vee (0.7 \land 0.1) \end{pmatrix}\]\begin{pmatrix}0.6 \vee 0.3 & 0.4 \vee 0.1 \\0.2 \vee 0.5 & 0.2 \vee 0.1\end{pmatrix}\]\[\begin{pmatrix}0.6 & 0.4 \\0.5 & 0.2\end{pmatrix}\]这就是模糊矩阵合成运算的具体过程。
模糊数学原理及其应用
模糊数学原理及其应用目录模糊数学原理及其应用目录摘要1．模糊集的定义2．回归方程3．隶属函数的确定方法3.1 隶属函数3.2 隶属度3.3 最大隶属原则4．模糊关系与模糊矩阵5．应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用5.1 研究的目的5.2 国外研究情况5.2.15.2.25.3 国内研究情况5.3.15.3.25.4 研究的意义6，小结与展望参考文献摘要：文章给出了模糊集的定义，对回归方程式做了一定的介绍并且介绍了隶属函数，隶属度，隶属度原则，以及模糊关系与模糊矩阵的联系与区别。
本文给出了一个案例，是一个关于模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用，本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较，找出影响最大的一项因子进行分析应用。
关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵1. 模糊集1) .模糊集的定义模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化，用特征函数的语言来讲就是：元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1,而是可以取从0到1的任一数值。
定义一如果X是对象x的集合，贝U X的模糊集合A：A={ ( X, A (x)) I X x}-A (x)称为模糊集合A的隶属函数(简写为MF X称为论域或域。
定义二设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射J A: U > [0,1]A (x) ,x U可确定U的一个模糊子集A。
模糊子集也简称为模糊集。
J A ( x)称为模糊集合A是隶属函数(简写为MF。
2）.模糊集的特征一元素是否属于某集合，不能简单的用“是”或“否”来回答，这里有一个渐变的过程。
[1]3）.模糊集的论域1＞离散形式（有序或无序）：举例:X=｛上海，北京，天津，西安｝为城市的集合，模糊集合C=“对城市的爱好”可以表示为：C=｛（上海，0.8）（北京，0.9）（天津，0.7）（西安，0.6）｝又: X=｛0,1,2,3,4,5,6｝为一个家庭可拥有自行车数目的集合，模糊集合C= “合适的可拥有的自行车数目的集合”C=｛（0,0.1），（1,0.3），（2,0.7），（3,1.0），（4,0.7），（5,0.3），（6,0.1）｝2＞连续形式令x=R为人类年龄的集合，模糊集合A= “年龄在50岁左右”则表示为：A={x，」A（X）,x X }式中」A（x）2. 回归方程1＞回归方程回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。
模糊数学——模糊矩阵运算
8. 对任意模糊矩阵R O R E,O U R R, E U R E
2020年5月1日
6
模糊矩阵及其运算
注意 : (1)互补律不成立。 R URc E, R I Rc O
0.2 1
2020年5月1日
14
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵满足 A2 A, 则称A为模糊传递矩阵。
例如
0.1 A 0
0.2 0.1
0.3 0.2 ,
0 0 0.1
0.1 0.1 0.2
A2
0
0.1
0.1
A
0 0 0.1
是模糊传递矩阵。
性质：An An1 L A2 A
转置矩阵，其中 aijT a ji 。 性质：
1 ( AT )T A.
2 3 4 5
2020年5月1日
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
( A B)T BT AT ; ( An )T ( AT )n .
( Ac )T ( AT )c . A B AT BT .
AT ( A )T .Hale Waihona Puke 13模糊集合及其运算
（5）特殊的模糊矩阵 定义：若模糊方阵满足 A I , 则称A为自反矩阵。
例如 A 1 0.2 1 0 I , 是模糊自反矩阵。 0.5 1 0 1
定义：若模糊方阵满足 AT A, 则称A为对称矩阵。 例如 A 1 0.2 是模糊对称矩阵。
2020年5月1日
15
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵Q，S，A满足
(1)S A(S2 S), (2)Q A(Q2 Q),总有Q S， 则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。 传递闭包就是包含A的最小的模糊传递矩阵。
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
3[1].2模糊矩阵
![3[1].2模糊矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/927da5731711cc7931b71670.png)
170 180
0.1 0
0.2 0.1
0.8 0.2
1 0.8
0.8 1
用矩阵表示为
1 0.8 R 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.1 0 0.8 0.2 0.1 1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.8 1
1 1 1 1 1 1
分别称为零矩阵和全矩阵. (8) R S R S S R S R
( R S )C RC S C (9) ( R S ) R S ,
C C C
(10) 若 R1 S1 , R2 S2 ,则
R1 R2 S1 S2 , R1 R2 S1 S2
R S RC S C (11)
( RT )T R (12)
( R S )T RT S T (13) ( R S ) R S ,
T T T
R S RT S T (14)
证明略.
定理3-4 设 R Unn , 则
r ( R) R I .
证 先证 R I 为自反矩阵. 因为
所以 R I O I I ,这表明 R I 为自反矩阵.
R O, I I ,
再证任意包含 R 的自反矩阵必包含 R I . 设 Q 为任一包含 R 的自反矩阵,即 R Q 且 I Q,
0.5 0.4 0.9 0.2 0.5 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2
可见 (Q R) S (Q S ) ( R S )
(3) (Q R) S (Q S ) ( R S )
matlab模糊运算法则进行单个矩阵相乘
一、概述在数学和工程领域中，矩阵相乘是一个重要的运算。
而在实际问题中，矩阵相乘可能会涉及到模糊运算。
在这种情况下，我们可以利用Matlab中的模糊运算法则来进行单个矩阵相乘。
二、Matlab中的模糊运算法则1. 模糊运算的定义模糊运算是一种特殊的数学运算，它允许运算的对象不是精确的数值，而是带有不确定性的模糊数值。
在Matlab中，我们可以利用模糊逻辑工具箱中的函数对模糊数值进行运算。
2. 模糊矩阵的表示在Matlab中，模糊矩阵通常使用模糊矩阵对象进行表示。
模糊矩阵对象包含模糊数值的矩阵形式，并且可以使用一系列的方法和函数进行运算操作。
3. 单个矩阵的模糊相乘在进行单个矩阵的模糊相乘时，我们首先需要将待相乘的矩阵表示为模糊矩阵对象。
然后利用模糊逻辑工具箱中的模糊矩阵相乘函数进行运算。
三、实例分析为了更好地理解Matlab中模糊运算法则进行单个矩阵相乘的方法，我们以一个具体的实例来进行详细分析。
假设我们有两个模糊矩阵A和B，它们分别表示为：A =[0.3 0.5;0.7 0.4]B =[0.6 0.2;0.4 0.8]我们希望计算A和B的模糊相乘结果。
代码示例：```matlabA和B的模糊矩阵表示A = fuzzyMatrix([0.3 0.5; 0.7 0.4]);B = fuzzyMatrix([0.6 0.2; 0.4 0.8]);模糊矩阵相乘操作C = A * B;disp(C);```四、结论通过上面的实例分析，我们可以看到，利用Matlab中的模糊运算法则进行单个矩阵相乘非常简单。
我们只需要将待运算的矩阵表示为模糊矩阵对象，然后利用相应的函数进行相乘运算即可得到结果。
这种方法在处理模糊数值的矩阵相乘问题上具有一定的实用性和便利性。
五、总结在本篇文章中，我们对Matlab中的模糊运算法则进行单个矩阵相乘进行了详细的介绍和实例分析。
通过使用模糊逻辑工具箱中的函数和方法，我们可以轻松地完成模糊数值的矩阵相乘运算，并得到准确的结果。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学方法及其应用(第3版)第四章答案
0.46 ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 0.32 + 0.46
0.41 0.54 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 1 0.38 ⎟ 模糊优先关系矩阵 R = 0.59 ⎜ ⎜ 0.46 0.62 1 ⎟ ⎝ ⎠
找出每行最小值 0.41, 0.38, 0.46 ，其中最大值 0.46 位于第三行，因此 c 为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到 a 与 b 的模糊优先关系矩阵：
用矩阵作业法解模糊关系方程第一步求最大解040507050405070105040608060104060307040504040504050505040405来代替得到ij04050705040504050405070504040504040505050405070405因为每一列都有非零的元素所以原模糊关系方程有解第三步求极小解种取法选取第一列的第一个元素第二列的第一个元素第三列的第一个元素和第四列的第四个元因此选中了第一行的和第四行的05元素在行中选中的元素中选取最大值第二行和第三行中没有选取元素得到一个解1110405070705同理选取时得到解211070405选取时得到解3110405选取时得到解41105选取时得到解05选取时得到解070405选取时得到解0405选取时得到解05拟极小解为第四步构造解集方程的解集为07100400405020505040404080706010202解
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ TR ( B) = B o R = (0.7, 0.2, 0) o ⎜ 0 1 0 0 ⎟ = (0.7, 0.2, 0.7, 0) % % % ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 解法 2，由模糊关系矩阵 R = 0 1 0 0 知存在模糊映射 f ( x ) ，使得 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
智能控制技术(第3章-模糊控制的数学基础)
二、模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上
的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭 借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧 妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用 语言表达出来，就会得到一种定性的、不 精确的控制规则。如果用模糊数学将其定 量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控 制理论。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
trimf,P=[3 6 8]
图 高斯型隶属函数（M=1）
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
trimf,P=[2 4 6]
图 广义钟形隶属函数（M=2）
1
0.9
0.8
（7）交集 若C为A和B的交集，则
C=A∩B 一般地，
A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)
（8）模糊运算的基本性质 模糊集合除具有上述基本运算性质
外，还具有下表所示的运算性质。
运算法则 1．幂等律 A∪A=A，A∩A=A 2．交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A 3．结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4．吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A 5．分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C) 6．复原律
模糊数学 第四章---模糊关系
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
Python数学实验与建模课件第14章模糊数学
第14章
14.1模糊数学基本概念
第7页
定义 14.2 论域U 到[ 0 , 1闭]区间上的任意映射 M : U [0,1], u M (u),
都确定了U 上的一个模糊集合， M (u)叫做 M 的隶属函数，或称为u对 M 的 隶属度。记作 M {(u, M(u)) | u U }，使得 M(u) 0.5的点称为模糊集 M 的 过渡点，此点最具有模糊性。
(0.3 0.2) (0.35 0.4) (0.1 0.2)]
[0.3 0.2 0.1, 0.3 0.2 0.1, 0.2 0.35 0.1]
[0.3, 0.3, 0.35].
第14章
14.1模糊数学基本概念
#程序文件 Pex14_6.py import numpy as np a=np.array([0.3,0.35,0.1]); aa=np.tile(a,(len(a),1)) b=np.array([[0.3,0.5,0.2],[0.2,0.2,0.4],[0.3,0.4,0.2]]) c=np.minimum(aa.T,b) # 两个矩阵的元素对应取最小值 T=c.max(axis=0) # 矩阵逐列取最大值 print("T=",T)
x
A。描述这一事实的是特征函数
A(
x
)
1, 0,
唯一确定。
x A, 即集合 A由特征函数 x A,
第14章
14.1模糊数学基本概念
第6页
在模糊数学中，称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。 常用大写字母来表示。元素属于模糊集合的程度用隶属度来表示。用于计算 隶属度的函数称为隶属函数。它们的数学定义如下。
的模糊集 M 和 N 可表示为
M
模糊数学-模糊数学基本知识
而直积
A
B
0.5 0.4
0.3 0.8
0.8 0.3
0.5 0.7
0.5 0.4
0.8 0.3
模糊矩阵: A aij
aij bij
B bij
A B
例2
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
AB
（c）模糊矩阵的和:
cij max aij , bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（d）模糊矩阵的直积
A aij
❖ 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A 0.2 0.7 1 0.5 , B 0.5 0.3 0.1 0.7
u1 u2 u3 u5
u1 u2 u4 u5
求AB、 AB ， AC
解：
A(u1)B(u1)
AU B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
身高与体重的普通关系
R(A,B) Bi
40
50
60
70
80
Ai
140
1
0
0
0
0
150
0
1
0
0
0
160
0
0
1
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
基于模糊数学对糖果质量安全评价体系的探究
基于模糊数学对糖果质量安全评价体系的探究摘要：本文利用层次分析（ahp）模型的原理和方法探讨了糖果质量安全风险分析的科学方法，确定了评价的标准及规则，并利用模糊综合评价方法，最终建立了衡量糖果质量安全指数的评价体系和模型。
关键词：糖果；质量安全指数；层次分析；模糊综合评价中图分类号：r155.5+9 文献标识码：a随着科学技术的飞速发展与生活水平的不断提高，人们对食品的要求从数量上的满足提升到了质量上的保证。
在这样的背景下，建立一个科学的有效的糖果质量安全评价体系成为了我们亟待解决的问题。
本文便运用层次分析和模糊综合评价法建立衡量糖果质量安全评价指数的评价体系和模型，以求促进我国糖果产品的安全监管[1]。
1 方法1.1 评价指标糖果是以白砂糖、淀粉糖浆( 或其他食糖) 或允许使用的甜味剂为主要原料，按一定生产工艺要求加工制成的固态或半固态甜味食品。
现如今的糖果质量安全国家检测指标主要有gb9678.1 - 2003《糖果卫生标准》、gb 2760-2011《食品安全国家标准-食品添加剂使用标准》、gb7718- 2004《预包装食品标签通则》中要求的5个大指标：感官、理化指标、微生物指标、添加剂以及标签[2]，见表1。
1.2 各指标权重的确定考虑到评选指标的科学性、客观性、可操作性，各指标权重的确定方法如下：（1）针对每一级各指标权重设计专家调查表。
（2）请有经验的专家填写调查表，5个评语等级为特别重要、重要、一般、不重要、很不重要，对应值为9,7,5,3,1，记为(,,,,)=（9,7,5,3,1）。
针对14个小指标，根据国标中具体规定分别确定，将5个评语等级设为远低于、略低于、符合、略高于、远高于国家限量标准，对应值也为9，7，5，3，1，记为（β1,β2,β3,β4,β5）=（9,7,5,3,1）。
（3）统计出对该级(共有p个指标)第j个指标评价为i个等级的专家人数kij。
（4）计算出该级指标层各指标的权重向量，其中所以可以得出各个级别指标的权重向量：一级指标:二级指标:,...1.3 模糊综合评价模型的建立1.3.1 建立模糊集第一级指标集为，相应的权重向量为，第二级指标集1 ，相应的权重向量为，，………第二级指标集n ，相应的权重向量为，，1.3.2 确定评语集评语集是对评价对象可能做出的各种评价结果为元素所组成的集合，用v表示：，其中，表示对指标因素的第j种评价结果。
模糊算法
2.2 基于模糊算法的专家系统2．1．1 模糊数学概述1、模糊数学的定义•处理现实对象的数学模型–确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.–随机性数学模型:对象具有或然性或随机性–模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. •随机性与模糊性的区别–随机性:指事件出现某种结果的机会.–模糊性指存在于现实中的不分明现象. •模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法. 模糊概念用数学语言来说就是模糊集合。
模糊集合的基本思想是把经典集合中的绝对隶属关系灵活化，用特征函数的语言来讲就是；元素对“集合”的隶属度不再是局限于取0或1，而是可以取从0到1的任一数值。
映射：在两个集合X、Y之间，如果有一个法则f，使得对X 种的每个元素x，在Y中都有唯一元素y与之对应，则称f是X到Y的映射。
给定非空集合x与非空集合y．我们把记号称做从X到Y的映射，所谓映射实质上是函数概念的推广，它的意思是指，对每个x∈X都存在着唯一确定的元素y＝f(x)∈Y与之对应． 模糊子集：设给定论域U和一个资格函数把U中间每个元素x和区间[0，1]中的一个数μ (x)结合起来。
μ (x)表示x在A中的资格的等级。
此处AA的A我们就说是U的一个模糊子集。
此处的μ (x)相当于C (x)，不过A A其取值不仅是0和1，而是扩展到[0，1]中的任一数值。
一般也称模糊子集为模糊集，而经典集合是模糊集的特例。
隶属函数设给定论域U，U在闭区间[0，1]中的任一映射μ A 可确定U 的一个模糊子集A μ (x)称为A的隶属函数，μ (x)称为元素x的隶属度。
当μ (x)＝1时，AAiiAi则x完全属于模糊集集A，当μ (x)＝0则x完全不属于模糊集A．μ (x)越接iAiiAi近于1，x属于A的程度就越大．i例1 已知论域为实数集R，设A是“比0大得多的所有实数”，A就是论域R 上的一个Fuzzy集，且：A：R→*0，1]，x∈R关于A的隶属度为：0 x≤0 A（x）= 2 1/（1+（100/x）） x>0 例2 “年轻”和“年老”是两个模糊概念，可用Fuzzy集来描述它们。
模糊数学方法
四 模糊数学方法模糊数学方法，是一种研究和处理模糊现象的新型数学方法。
这一方法，是由美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出来的。
20多年来，模糊数学方法在自然科学和社会科学研究的各个领域得到了广泛应用。
4.1糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。
这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。
但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。
譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，……，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。
严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。
4.1.1子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数：在经典集合论中，一个元素x 和一个集合A 之间的关系只能有x A ∈或者x A ∉这两种情况。
集合可以通过其特征函数来刻划，每一个集合A 都有一个特征函数C A (x)，其定义如下：由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值，故与二值逻辑｛0，1｝相对应。
模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。
因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0，1](2)模糊子集的定义：1965年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围)，μA ：x →[0，1]是U 到[0，1]闭区间上的一个映射，如果对于任何x ∈U ，都有唯一的μA (x)∈[0，1]与之对应，则该映射便给定了论域U 上的一个模糊子集，μA 称做 的隶属函数，μA (x)称做x 对 的隶属度。
2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
模糊矩阵合成运算
模糊矩阵合成运算
模糊矩阵合成运算是一种基于模糊数学的数学运算，它可以用来描述复杂的系统和过程。
它可以用来模拟复杂的系统，如社会系统、经济系统、生态系统等，以及模拟复杂的过程，如决策过程、控制过程等。
模糊矩阵合成运算的基本思想是，将一个复杂的系统或过程分解成一系列的子系统或子过程，然后将这些子系统或子过程用模糊矩阵表示，最后将这些模糊矩阵进行合成，从而得到整个系统或过程的模糊矩阵表示。
模糊矩阵合成运算的优点是，它可以更好地模拟复杂的系统和过程，因为它可以将复杂的系统或过程分解成一系列的子系统或子过程，然后将这些子系统或子过程用模糊矩阵表示，最后将这些模糊矩阵进行合成，从而得到整个系统或过程的模糊矩阵表示。
此外，模糊矩阵合成运算还可以用来模拟复杂的决策过程，因为它可以将复杂的决策过程分解成一系列的子决策过程，然后将这些子决策过程用模糊矩阵表示，最后将这些模糊矩阵进行合成，从而得到整个决策过程的模糊矩阵表示。
总之，模糊矩阵合成运算是一种有效的数学运算，它可以用来模拟复杂的系统和过程，以及复杂的决策过程，因此它在社会系统、经济系统、生态系统等领域有着广泛的应用。
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1 0.5 0.2 0
例2：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
0.3 0.8
,则
0 0.3 0.8 1
0.5, 0.8时的截矩阵为
1 1 0 0
A0.5
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
1 0 0 0
A0.8
0 0
1 0
0 1
0 1
0 0 1 1
2020年5月1日
9
截矩阵
(2) 模糊矩阵的并、交运算可以推广到 一般情形。
(3) 通常用Mnm表示全体n行m列的 模糊矩阵。
2020年5月1日
7
截矩阵
模糊矩阵的截矩阵
设RMnm，对任意[0,1]，记
R
rij
,
其中rij
=
1 0
rij rij
则称矩阵R为模糊矩阵R的截矩阵，是个布尔矩阵。
2020年5月1日
8
截矩阵
截矩阵的性质： [0,1], 性质1. R S R S .
性质2. R US R US ,R I S R I S.
2020年5月1日
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合成
模糊矩阵的合成
定义：设 Q (qij )ml , R (rij )ln, 称模糊矩阵
Q o R (sij )mn
l
为Q与R的合成，其中 sij k1(qik rkj ) 。
转置矩阵，其中 aijT a ji 。 性质：
1 ( AT )T A.
2 3 4 5
2020年5月1日
( A B)T AT BT ;( A B)T AT BT ;
( A B)T BT AT ; ( An )T ( AT )n .
( Ac )T ( AT )c . A B AT BT .
AT ( A )T .
13
模糊集合及其运算
（5）特殊的模糊矩阵 定义：若模糊方阵满足 A I , 则称A为自反矩阵。
例如 A 1 0.2 1 0 I , 是模糊自反矩阵。 0.5 1 0 1
定义：若模糊方阵满足 AT A, 则称A为对称矩阵。 例如 A 1 0.2 是模糊对称矩阵。
2. 交换律 R US S U R, R I S S I R,
3. 结合律 R U(S UT ) (R U S) UT , R I (S I T) (R I S) I T
4. 吸收律 R US I S S,R I S US S
2020年5月1日
5
模糊矩阵及其运算
5. 分配律 R I (S UT ) (R I S) U(R I T ), R U(S I T) (R US) I (R I T)
l
即： S Q o R sij k1(qik rkj )
定义：设R为 n n 阶，则模糊方阵的幂定义为
R2 R o R, R3 R2 o R,L , Rn Rn1 o R
2020年5月1日
11
合成
例5：设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 0.3
,
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
,则
0.6
A B 0.5 0.3
0.6 0.3
0.1 B A 0.3
0.4
0.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
注意：合成不满足交换律
2020年5月1日
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转置
模糊矩阵的转置
定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aijT )mn 为A的
第2章 模糊矩阵与模糊关系
课前复习：
模糊子集的定义及理解、 模糊集合和经典集合的关系、 常用的隶属函数
2020年
定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。
当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当 rij 只取0时，称R为零矩阵，记为O； 当 rij 只取1时，称R为全矩阵，记为E。
2020年5月1日
15
模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵Q，S，A满足
(1)S A(S2 S), (2)Q A(Q2 Q),总有Q S， 则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。 传递闭包就是包含A的最小的模糊传递矩阵。
2020年5月1日
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6. 还原律 (Rc )c R, 7. 对偶律 (R U S)c Rc I S c ,(R I S)c Rc U S c ,
8. 对任意模糊矩阵R O R E,O U R R, E U R E
2020年5月1日
6
模糊矩阵及其运算
注意 : (1)互补律不成立。 R URc E, R I Rc O
相等： R S rij sij 包含：R S rij sij
并： R U S (rij sij )mn
交： R I S (rij sij )mn
余（补）：Rc (1 rij )mn
2020年5月1日
3
模糊矩阵及其运算
矩阵并交补运算的性质
1. 幂等律 R U R R, R I R R,
0.2 1
2020年5月1日
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模糊集合及其运算
定义：若模糊方阵满足 A2 A, 则称A为模糊传递矩阵。
例如
0.1 A 0
0.2 0.1
0.3 0.2 ,
0 0 0.1
0.1 0.1 0.2
A2
0
0.1
0.1
A
0 0 0.1
是模糊传递矩阵。
性质：An An1 L A2 A
当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时，
称R为模糊单位矩阵，记为I。
例如： R 1 0.5
0 0.7
0.1 0.3
0 0
0
0
0
0 0
0 0 0
2020年5月1日
2
模糊矩阵及其运算
（1）模糊矩阵间的关系及运算 定义：设 R (rij )mn , S (sij )mn 都是模糊矩阵，定义