湘教版7下数学 多项式的因式分解
湘教版七年级数学下册课件-多项式的因式分解
七年级数学下（XJ） 教学课件式的因式分解
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 ×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
1 x2 4
2 x2 x
解：
x2 x x x 1
3.求4，6，14的最大公因数. 4=1×2×2 6=1×2×3 14=1×2×7
最大公因数是2
4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2)2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4)x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解
7.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状 的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成 右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请 问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数 学解释吗？
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解》教案_0
多项式的因式分解学习目标：1.理解因式及因式分解的含义2.了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用。
3. 理解因式分解是多项式的逆运算。
学习重点、难点因式分解的概念。
学习过程：一、创设问题情境,引入新课导入一：小明用硬纸板剪了个特殊的三角形，三边长分别为a b c ,并且他发现这三边长满足这样一个式子： a b2－2abc＋a c2＝0 你能根据上述式子判断三角形的形状吗？导入二：1．什么叫单项式、多项式、整式？2．什么叫整式乘法？请举例说明。
3．大家会计算（a+b）（a－b）吗？二、学习新知<一>因式分解的有关概念请同学们带着以下问题阅读教材P55-56例题上面的内容，并完成以下的自学检测题1.自学思考题（1）什么叫因式？（2）什么叫因式分解？（3）什么叫质数或素数？2.自学检测练习<1>下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解 ( )（1）4a（a+2b）= 4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）（3）a2－4=（a+2）（a－2）（4）x2－3x+2=x（x－3）+2<2> （x－5）（x+7）是下面哪个多项式因式分解的结果？ ( )Ａ.x2－2 x －35 Ｂ. x2 +2 x －35Ｃ. x2 +2 x +35 Ｄ. x2－2 x+35<3>下列多项式从左到右的变形是因式分解的有 ( )个。
①x2－x = x(x-1) ② a（a－b）＝a2－ab; ③（a+3）（a－3）= a2－9④a2－2a＋1= a（a－2）+1 ⑤a2－4a+4=（a－2）2;<4>若关于x的二次三项式x2+m x + n的因式分解的结果为（x+3）（x－2），怎样得出m, n的值3.自学点拨( 1)一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。
（2）一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
湘教版数学七年级下册3.1《多项式的因式分解》教学设计
湘教版数学七年级下册3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版数学七年级下册3.1节的内容，这一节主要让学生掌握多项式因式分解的方法和技巧。
教材通过引入实例，引导学生发现多项式因式分解的规律，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
本节课的内容是学生学习初中数学的基础，对于提高学生的数学思维能力和解题能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在进入七年级下册之前，已经学习了多项式的基本概念和相关运算，对于多项式的加减法和乘法有一定的了解。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
此外，学生的数学思维能力和逻辑推理能力也在逐步发展，需要通过引导和启发来激发他们的学习兴趣和思考能力。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.让学生掌握多项式因式分解的方法和技巧。
3.培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
4.提高学生的解题能力和应用能力。
四. 教学重难点1.多项式因式分解的概念和意义。
2.多项式因式分解的方法和技巧。
3.如何引导学生发现和总结多项式因式分解的规律。
五. 教学方法1.引导法：通过引入实例，引导学生发现多项式因式分解的规律。
2.练习法：通过大量的练习，让学生熟练掌握多项式因式分解的方法。
3.讨论法：让学生分组讨论，分享自己的解题方法和经验，互相学习和提高。
六. 教学准备1.教材和教辅资料。
2.投影仪和幻灯片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生思考如何将多项式进行因式分解，激发学生的学习兴趣和思考能力。
2.呈现（10分钟）通过幻灯片呈现多项式因式分解的概念和意义，以及多项式因式分解的方法和技巧。
让学生明确本节课的学习目标和内容。
3.操练（10分钟）让学生分组练习多项式因式分解的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过幻灯片呈现一些典型的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
湘教版数学七年级下册_《多项式的因式分解》典型例题
《多项式的因式分解》典型例题例题1．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=--例题2．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab例题3 下列由左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．32)1)(3(2--=+-x x x xB ．)32(3222y x xy xy y x -=-C ．2)1)(1(32-+-=-x x xD ．mc b a m mc mb ma ++=++)(参考答案例题1．分析 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式. A 是整式乘积化成多项式；B 只是符号变换；D 中m m 32--不是整式. 正确答案是C. 解答 C说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式.例题2．分析 A 式左边是3项，而右边展开后是两项，D 式左边无公因式2，只能提取出ab ，而不能提取出2ab ，故排除A 与D.若将B 式右端展开，含2a 的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正，可见B 也是不正确的.解答 C说明 考查因式分解的定义.例题3 分析 判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变式是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式，所以B 从左到右的变形是因式分解．解答 选B ．说明 判断一个由左到右的变形是否是因式分解，应该注意等式的右端必须从整体看是几个整式的积，如本题中的2)1)(1(32-+-=-x x x 和mc b a m mc mb ma ++=++)(，其等式的右边都有两个整式的乘积，但从整体看等式的右边都是和的形式，因此都不是因式分解．。
湘教版七下数学多项式的因式分解
式的乘积与左边的多项式是否正确
练习
将多项式x^2-2xy+y^2-2x+2y+1分解正确的是( ) A. （x-y+1)^2 B. (x-y-1)^2 C. (x+y+1)^2 答案 C
多项式因式分解的方法
分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解
应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6 的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p （p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数， p最高次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项， 则有a为c/b约数
配方法 对于某些平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因 式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一 种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则 下进行变形。 例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5)．
例1
下列各式由左边到右边的变形，那些是因式分解，那
些不是，为什么 【1】a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 【2】m^2+m-4=(m+3) (m-2)+2
例2
检验下列因式分解是否正确。 【1】x^2+xy=x（x+y） 【2】a^2-5a+6=(a-2)(a-3) 【3】2m^2-n^2=(2m-n)(2m+n) 分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项
湘教版七年级下册第三章因式分解--小结与复习(一)PPT课件
1、下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？ (1) 3a2+6a=3a(a+2) 是 (2) (2y+1)(2y-1)=4y2-1 否
(3) 18a3bc=3a2b·6ac 否 (4) x²+2x+1=x(x+2)+1 否
2、检验下列因式分解是否正确？
(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) √ (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3) ×
4、将下列各式分解因式：
⑴ -a²-ab；
=-a(a+b)
⑵ m²-n²；
= (m+n)(m-n)
⑶ x²+2xy+y²
=(x+y)²
(5) 3x³+6x²y+3xy²
=3x(x+y)²
(4) 3am²-3an²；
=3a (m+n)(m-n)
(6) x²-4x(x-y)+ 4(x-y)²；
(2y-x)2
平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符合公式 特征
完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要 先提取公因式；
二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式；
(6) 已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解下列方程：
(3x- 4) ²- (3x+ 4) ²=48
若AB=0则A=0或 B=0 方法：左边 为0，右边进行因 式分解。
湘教版七年级下册3.1多项式的因式分解课件12张PPT
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21: 22:4221 :22:422 1:228/ 5/2021 9:22:42 PM
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。21.8.5 21:22:4 221:22 Aug-21 5-Aug-2 1
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。21:22: 4221:2 2:4221: 22Thurs day, August 05, 2021
联系和区别吗？他们的左右两边 有何特点？
整式的乘法
特点：由整式乘积的形
式转化成多项式的形式。
特点：由多项式转化成
几个整式乘积的形式。
一般地，把一个多项式转化 成几个整式乘积的形式，叫做因 式分解，也叫分解因式。
深度理解
一个因式分解必须满 足几个条件？
必须满足的条件： （1）等号的左边必须是多项式。 （2）等号的右边必须是几个整式的乘积（含乘方）。
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。21.8.5 21.8.52 1:22:42 21:22:4 2Augus t 5, 2021
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021 年8月5 日星期 四下午9 时22分 42秒21 :22:422 1.8.5
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月下午 9时22 分21.8.5 21:22A ugust 5, 2021
——湘教版七年级数学下册
42能被哪些数整除？
42=2×3×7
类似地，在式的变形中，有时也要将一个 多项式写成几个整式乘积的形式。
一般地，对于两个多项式f与g，如果有 多项式h使得f=g h，那么我们把g叫做f的一个因式， 此时，h也是f的一个因式。
2022春七年级数学下册第3章因式分解3.1多项式的因式分解习题课件新版湘教版20220222113
2. 下列式子是因式分解的是( C ) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1)
知识点 因式分解与整式乘法的区别和联系
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的
结果( C )
A．9a2＋y2 C．9a2－y2
ห้องสมุดไป่ตู้
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
8. 下列因式分解正确的是( A )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
9. 下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy； ②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；④x2－
15. 检验下列因式分解是否正确． (1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)； (3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2. 解：(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确．
16. 已知多项式 ax2＋bx＋c 分解因式的结果是(3x＋ 1)(4x－3)，求 a＋b＋c 的值．
B．－9a2＋y2 D．－9a2－y2
4. 把 x2＋3x＋C 分解因式得：x2＋3x＋C＝(x＋1)(x
＋2)，则 C 的值为( A )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
5. 由(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则 x2－3x＋2 因式 分解为___(x_－__2_)_(_x_－__1_) ___．
6. 把多项式 x2＋mx＋5 因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则 m＝_6_，n＝_1_．
七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解 两法帮你验证分解因式的正误素材 (新版)湘教版
两法帮你验证分解因式的正误分解完因式后，怎样才能知道分解结果是正确的呢？下面介绍两种验证的方法，供你参考.一、乘法验证法大家知道分解因式和整式乘法是相反方向的变形，所以，分解因式彻底后，把分解得出的因式相乘，看结果是否和分解的多项式一样.若一样，则分解因式正确，若不一样，应查找错误.例1 分解因式：32a ab -.解：3222()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-.验证：计算()()a a b a b +-22()a a b =-32a ab =-. 相乘的结果与原多项式相等，因此，可以断定分解因式的结果是正确的.例2 分解因式：32627x x x +-解：322269(69)(3)x x x x x x x x +-=+-=-.验证：计算2(3)x x -2(69)x x x =-+3269x x x =-+. 由于26x -和9x 的符号正好和原多项式的符号相反，所以分解因式的结果是错误的. 正确的分解结果是：32269(69)x x x x x x +-=+-.二、特值验证法一般地，多项式中的字母可以表示任意一个数，而分解因式是恒等变形.所以，分解因式后，用数值代替多项式中的字母，分别计算原多项式和分解因式的结果，若两者计算结果相等则可确定分解因式的结果正确，若不相等，就要查找错误的原因.例3 分解因式：2363a a -+. 解：222363321)3(1)a a a a a -+=-+=-（. 验证：取1a =，则2363316130a a -+=⨯-⨯+=； 223(1)3(11)0a -=⨯-=.两者的值相等，所以分解因式是正确的.例4 分解因式：2363x y xy y -+2 解：2223633(21)3(1)x y xy y y x x y x -+=-+=+.验证：取1,2x y ==，则2363312612320x y xy y -+=⨯⨯-⨯⨯+⨯=； 223(1)32(11)12y x +=⨯+=.两者的值不相等，所以分解因式不正确. 正确的分解结果是：2223633(21)3(1)x y xy y y x x y x -+=-+=-.。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要介绍了多项式因式分解的概念、方法和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减运算和乘法运算，具备了一定的代数基础。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和基本方法。
2.难点：多项式因式分解的技巧和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生形象地理解因式分解的概念和方法。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流和讨论，培养学生的团队合作意识。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和提高因式分解的能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和教具。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，如“分解因式：x^2 - 5x + 6”，激发学生的兴趣，引导学生思考和探索因式分解的意义和方法。
2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念和方法，如提公因式法、十字相乘法等。
通过示例和讲解，让学生了解因式分解的基本步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用给定的方法尝试分解因式。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈和评价。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要让学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧，培养学生对多项式的理解和运算能力。
教材通过引入、讲解、练习等环节，使学生逐步掌握多项式因式分解的原理和方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法运算，对多项式有一定的理解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
此外，学生可能对因式分解的方法和技巧掌握不牢固，需要老师在教学中进行引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.使学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧。
3.培养学生对多项式的理解和运算能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。
四. 教学重难点1.重点：多项式因式分解的概念、方法和技巧。
2.难点：如何灵活运用因式分解的方法和技巧，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究多项式因式分解的方法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解因式分解的原理。
3.运用小组合作学习法，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4.利用巩固练习法，加强对因式分解方法的掌握。
六. 教学准备1.教材、多媒体教学设备。
2.相关练习题和测试题。
3.教学课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何将这些问题转化为多项式的因式分解问题。
例如，解决“一件衣服原价80元，优惠20%，现价是多少？”的问题，可以转化为多项式80x - 16x^2的因式分解。
2.呈现（10分钟）讲解多项式因式分解的概念和意义，介绍因式分解的方法和技巧。
通过具体例子，让学生理解因式分解的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试对给定的多项式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
湘教版数学七年级下册_《多项式的因式分解》知识全解
《多项式的因式分解》知识全解
教学目标：
1.知识与能力：
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的互逆关系.
2.过程与方法
通过观察，发现因式分解与多项式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
3.情感态度与价值观：
感受类比、逆向思维的思维方法，通过观察，理解因式分解与多项式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
教学重点：
1.理解因式分解的意义.
2.识别因式分解与多项式乘法的关系.
3.初步了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用.
教学难点：
因式分解与多项式乘法的联系与区别.
知识结构：
1.因式分解的概念
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为这个多项式的因式分解。
2.因式分解与整式的乘法的关系
如果把整式的乘法看成一个过程，那么因式分解就是他的逆过程.
注意：
1.因式分解的结果是整式的积的形式，且要分解到每一个因式都不能再分解为止。
2.因式分解的结果与原式相等，且几个相同因式的积要写成幂的形式
3.判断一个多项式的变形是不是因式分解，一是看结果是不是积的形式，二是看积中的每
个因式是否都是整式。
湘教版七年级下册数学精品教学课件 第3章 因式分解 小结与复习 (2)
解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1，
x＋y＝ 1，
2
所以 x － y ＝ －2.
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里 相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最 外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm， 向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图 形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的_公__因__式___，简称多项式的_公__因__式___. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 最大公约数 ； (2)字母：取多项式各项 相同 的字母； (3)各字母的指数：取次数最 最低 的．
3. 定义：逆用乘法对加法的_分__配___律，可以把 _公__因__式__写在括号外边，作为积的一个_因__式__，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
3.注意事项：有公因式时，应先提出_公__因__式__.
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； 不是 (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； 不是 (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； 是 (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 不是
＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n)
湘教版七年级数学下教案 多项式的因式分解
3.1 多项式的因式分解教学目标1.知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别；使学生理解并熟练运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。
3.情感与态度：通过学生自行探求解题途径，培养学生的科学精神和创新意识。
教学重难点重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
难点：对分解因式与整式关系的理解教学过程一、创设情境，导入新课1 回顾整式乘法和乘法公式填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________(3)（x-2y）(x+2y)=__________; (4) =_____________(5) =________2 你会解方程：吗？估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1指出：把叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。
二合作交流，探究新知1 因式的概念（1）说一说： 6=2×___,（2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。
类似的：对于整式与x+2,有整式x-1使得，我们把x+2叫多项式的一个因式，同理，x-2也叫多项式的一个因式。
你能说说什么叫因式吗？一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。
（3）考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？A ab+ac,BC D2 因式分解的概念（1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
（2）考考你：下面变形叫因式分解吗？E =F =说明：因式分解的对象是含有字母的多项式因此 A 不是因式分解，因式分解的目的是把含字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为不是多项式。
湘教版七年级下册数学课件 多项式的因式分解
练 习
1.求4，6，14的最大公因数.
答案：2.
2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些 是，为什么？ （1）( x+1 )( x+2 )=x2+3x+2； （2）2x2y+4xy2=2xy( x+2y )； （3）x2-2=( x+1 )( x+1 )-1； （4）4a2-4a+1=( 2a-1 )2.
【例2】检验下列因式分解是否正确. （1）x2+xy=x( x+y )； （2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)； （3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确； （2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确； （3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3
因式分解
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得 f=gh，那 么我们把g叫作f的一个因式.此时，h也是f 的一个因 式 把.x2-1写成( x+1 )( x-1 )的形式叫作把这个多项式因 式分解. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积 的形式，称为把这个多项式因式分解.
思
为什考么要把一个多项式因式分解呢？
每一个大于1的正整数都能表示成若干个素（质）数
的乘积的形式.Biblioteka ：12=2×2×3，30=2×3×5.根12据这两个式子，很容易
看1出2 122.和30的最大公因数为320×3=6，进而很容易把
30 5
分数 约分：分子与分母同除以6，得
同样
七年级下册湘教版数学 3.1 多项式的因式分解7优秀教学教案说课稿
课题 31 多项式的因式分解第1课时
6 2m -4=m4m-4 72 πR 2 πr= 2 πRr
四、合作探究：
由m （abc ）得到ma mb mc 的变形是什么运算？由ma mb mc 得到m （abc ）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
联系：
区别：
即mambmc
m （abc ）
所以，因式分解与多项式乘法是相反方向的变形
1、下列各式从左到右，哪些是因式分解
①()2
2326a a b a ab +=+ ②2633(2)ax ax ax x +=+
③29(3)(3)a a a -=+-
④232(3)2x x x x -+=-+
2、分解因式，连线。
()()222228168
421a a m m n n n m x b a x ax -+-+--++ ()()()()
()2
2222181m n x b x b ax a -+-+- 五、归纳提升
1什么叫做因式分解
2、因式分解和整式乘法有怎样的关系
3、如何检验因式分解是否正确
六、【当堂检测】 （每小题10分，共100分）
1、写出下列多项式的因式：
①32－3=（ ）（ ）;
②m 2－16=（ ）（ ）;
③mambmc =（ ）（ ）;
④2－69=（ ）2
⑤a 3－a =（ ）（ ）
2、指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？
12－2=1－1－1。
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.1因式分解之平方差公式》课件
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对大部分人来说，工作是我们憎恨的一种乐 趣，一种让我们脚步变得轻盈的重负，一个没 有它我们就无处可去的地狱。
世界上任何书籍都不能带给你好运，但是它 们能让你悄悄成为你自己。
一个人的成就越大，对他说忙的人就越少； 一个人的成就越小，对他说忙的人就越多。
山，人外有人!
• 正视自己的长处，扬长避短， • 正视自己的缺点，知错能改， • 谦虚使人进步，骄傲使人落后。 • 自信是走向成功的第一步， • 强中更有强中手，一山还比一山高，山外有
山，人外有人!
永远不要认为我们可以逃避，我们的每一步都 决定着最后的结局，我们的脚正在走向我们自 己选定的终点。
(3)(a+b)2-4a2
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b) 2.用平方差公式因式分解步骤：
Zx.xk
一变、 二分解
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
拓展训练2：利用因式分解计算
(3)-64+9m2
(4)a2b2-c2
例题2
(x y)2 (x y)2
(1)(x+2)2-y2
(2)(x+m)2-(x+n)2
(3) (x+p)2 – (x+q)2.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
湘教版初中数学七年级下册第3章因式分解 习题课件
(4) 1ax+ 1bx= 1x(a+b)等号的左侧是多项式，右侧是几个整式
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的积的形式，所以该变形是因式分解. (5)4a2－8a－1=4a(a－2)－1等号的左侧是多项式，但等号的 右侧不是几个整式的积的形式，所以该变形不是因式分解.
【规律总结】 因式分解的两个要求
1.分解的结果要以积的形式表示. 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项 式的次数.
m2-16
y2-6y+9
a3-a
2.根据上面的算式填空： (1)3x2-3x=________； ((23))my22--166y=+_9_=3__x__(__x__-__1__)_；__； (4)a3-a=__(_m_+_4_)_(_m_-_4_)_.
(y-3)2
a(a+1)(a-1)
【归纳】把一个多项式表示成若干个多项式_乘__积__的形式，称 为把这个多项式因式分解.
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【解题探究】 (1)36a2b=3a·12ab等号的左侧是单项式，所以该变形不是因 式分解. (2)x2－2xy+y2=(x－y)2等号的左侧是多项式，右侧是几个整 式的积的形式，所以该变形是因式分解. (3)(a－1)(a+2)=a2+a－2等号的左侧是几个整式的积的形式， 不是多项式，所以该变形不是因式分解.
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1.(2012·济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( ) (A)x2-5x+6=x(x-5)+6 (B)x2-5x+6=(x-2)(x-3) (C)(x-2)(x-3)=x2-5x+6 (D)x2-5x+6=(x+2)(x+3)
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活动3 自主探究2
例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什 么？
（1）a2 +2ab+b2 =(a+b)2
(2)m2 +m-4=(m+3)(m-2)+2 解:(1）是，因为从左边到右边是把多项式a2 +2ab+b2 表示成了多项式a+b与a+b的积的形式。
（2）不是。因为（m+3）(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.如果2x2＋ax－2可因式分解为(2x＋1)(x－2),那么a的值是( C )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
第3章 因式分解 课题 多项式的因式分解
一、学习目标
1.理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系. 2.对因式分解做出正确判断,培养观察能力和语言概括能力.
二、学习重难点
重点 因式分解的概念.
难点 理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解 的方法.
三、情境导入
活动1 旧知回顾
运算叫 因式分解 ,从右到左的运算叫整式乘法 , 因式分解读教材P56例2,完成下列内容. 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为( C )
A. a(x＋y)＝ax＋ay
B. x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C. 10x2－5x＝5x(2x－1) D. x2－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x
计算：
(1)(x－2)(x＋2)＝ x2－4 ；
(2)(y－4)(y＋2)＝ y2－2y－8 ；
(3)(m＋5)(m－3)＝ m2＋2m－15 ; (4)x(x＋1)2＝ x3＋2x2＋x .
四、自学互研
活动1 自主探究1 阅读教材P55“说一说”,完成下列填空.
1.一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f＝g h,那么我们把g叫 做f的一个 因式 ,此时h也是f 的一个 因式 . 2.一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的 乘积 的形式,称为把这个 多项式因式分解. 3.因数只有 1 和它本身 ,这样的正整数称为质数或素数.
活动6 合作探究3
1.下列分解因式正确的个数是( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)
②－5x＋5x y＝－5x(1＋y)
③4x3－2x2 y＝x2(4x－2y)＝2x2(2x－y)
④6a3 b3＋4a2 b2－12a b＝2a b(3a2 b2＋2a b－6)＝6a3 b3＋4a2 b2－12a b
活动2 合作探究1 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( B ) A. a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B. a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D. a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 2.计算：(2x＋3)2＝ 4x2＋12x＋9 ,反过来因式分解 4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2. 归纳：每个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式. 从而为许多问题的解决架起了桥梁.
阅读教材P56例1,完成下列内容. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C ) A. 9a2＋y2 B.－9a2＋y2 C. 9a2－y2 D.－9a2－y2
活动4 合作探究2
若x2 z－x2 y＋x y2－z y2＋y z2－x z2＝(x－y)(y－z)(z－x),则 x－y , y－z 和 z－x 都是x2 z－x2 y＋x y2－z y2＋y z2－x z2的因式.上述等式从左到右的