高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.4 诱导公式(一)课件 新人教B版必修4

跟踪演练 2 已知 cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求 sin(α－3π)＋
cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
么对称关系？
答
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α －α与α π－α与α
关于原点对称 关于x轴对称 关于y轴对称
[预习导引] 1.(1)角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系 cos(α＋k·2π)＝ cos α ，sin(α＋k·2π)＝ sin α ，tan(α＋k·2π)＝ tan α .(一) (2)角α与－α的三角函数间的关系 cos(－α)＝ cos α，sin(－α)＝－sin α ，tan(－α)＝－tan α .(二)
＝sin
π 3·cos
π3＝
23×12＝
3 4.
②当 n 为偶数时，原式＝sin
2π 3 ·cos
4π 3
＝sinπ－π3·cosπ＋π3
＝sin
π3·－cos
π3＝－
3 4.
要点二 给值求值问题
例 2 已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°＋α) 的值. 解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且 α 为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角.
1＋2sin 290°cos 430°
(2)
.
sin 250°＋cos 790°
1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70° 解 原式＝
sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°
1－2sin 70°cos 70° |cos 70°－sin 70°|
＝
＝
－sin 70°＋cos 70° cos 70°－sin 70°
规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角 的三角函数转化为锐角的三角函数求解.如果是负角，一般先将负 角的三角函数化为正角的三角函数.
跟踪演练 1 求 sin2nπ＋23π·cos nπ＋43π的值(n∈Z). 解 ①当n为奇数时，
原式＝sin
23π·－cos
4π
3
＝sin π－π3·－cos π＋π3
[知识链接]
1.对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ 答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间有什
sin 70°－cos 70°
＝
＝－1.
cos 70°－sin 70°
规律方法 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2
(2)cos－316π； 解 方法一 cos－316π＝cos 316π＝cos4π＋76π
＝cos(π＋π6)＝－cos
π6＝－
3 2.
方法二 cos－316π＝cos－6π＋56π
＝cosπ－π6＝－cos
π6＝－
3 2.
(3)tan(－945°). 解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
原式＝ sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
sin－α·cos－π－α －sin α·－cos α
＝
＝
＝－1；
sinπ＋α·cos α
－sin α·cos α
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α] 原式＝
sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α] ＝ssiinnαπ·－coαs·πc＋osαα＝sinsiαn·α－·cocos sαα＝－1. 综上，原式＝－1.
(3)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系 cos[α＋(2k＋1)π]＝ －cos α ，sin[α＋(2k＋1)π]＝ －sin α ， tan[α＋(2k＋1)π]＝ tan α .(三) 2.2kπ＋α(k∈Z)，α＋(2k＋1)π，－α的三角函数值，等于α的 同 名函数值，前面加上一个把α看成锐角时 原函数值的符号. 简记为 “ 函数名不变，符号看象限 ”！
要点一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；
解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2
3
2 .
∴sin(105°＋α)＝sin 180°＋α－75°
＝－sin(α－75°)＝2 3
2 .
规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化 简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的 特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地 选择诱导公式.
第一章——
基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数 1.2.4 诱导公式(一)
[学习目标]
1.了解三角函数的诱导公式一～三的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α) ＝－－45＋35＝15.
要点三 三角函数式的化简
例 3 化简下列各式：
sinkπ－αcos[k－1π－α]
(1)
(k∈Z)；
sin[k＋1π＋α]coskπ＋α
解 当 k＝2பைடு நூலகம்(n∈Z)时， sin2nπ－αcos[2n－1π－α]