自然数幂次方和公式

自然数幂次方和的另一组公式

摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k

n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k

n C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。

由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用k

n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k

n C 表达出来。

假设自然数幂次方和可以写成以下形式

∑∑=++===p

k k n k n

k p n C A k S 1

1

11

。。。。。。（1）

那么同理可应有：

∑∑=++--=-==p

k k n k n k p n C A k S 111)1(11

1

那么：

∑∑=+=++--=-=p

k k n k p

k k n k n n p C A C A S S n 1

11

111 []

∑∑==+++=-=p

k k n k p

k k n

k n k p C A C C A n 1

1

111

∑==

p

k k

n k p C A n 1

因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p

次多项式，其中：

)1).....(1(k n n n C k n -+-=

这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。

分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有：

01

1

1

1

+=+

==∑∑∑∑=+===t

k k

t k p t k k

t

k t

k k t

k p k k t

k p

C A C A C A C A t

∑==t

k k t k p C A t 1

)1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。（2)

∑-=-=1

1

t k k

t k p

t C A t A

)1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。（3）

这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。

其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下面给出这个结论。

引理：i t i t i

t i k i k i k k t C C C --=---=-∑)1()1( 。。。。。。。（4）

证明：令：∑-=-----=-=i

t j j i t j i t j i

t C x x x f 0

)1()

1()(

∑-=--=

=i

t j j

i

t j

C

f 0

)1(0)1(

令k=i+j 的，则j=k-i ，同时两边分别乘以i t C ，那么

i

k t

i

k t

i

k i k i t i t i

k i k i

t C C C

-==------=-=∑∑)1()

1(0 。。。。。。（5） 因为有：

k t

i k i t i t i k i

k k t i t i t i k C C C C i i k k t t i k i k k t k t C C i k t i k t i t i t k t i k i t C C =--=--=--=

----=

----所以：!

)!()!(!)!(!!)!(!!!)!()!(!

)!(!!)!()!()!(

因此（5）式可以变换为：

i t i t t i

k i k k t i k t i

k i

k k t

i k

i t

i

t t i

k i

k k t i k i t i t t i

k i

k k t i k i t

i

t t i

k t

i

k i

k k t i k i k i k i t i t C C C C C C C C C C C C C C C C --=--=---=---=--==------=--+-=-+-=-+-=-=-=∑∑∑∑∑∑)1()1()

1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()1(01

1

1

1

证毕。

定理：∑=-•-=k

i p

i k i k k i C A 1)1( )1...3,2,1(-=p k 。。。。。。（6）

证明：（1）当k=1时，由（3）式得1=k A ，代入定理公式中，可知结论成立。 （2）假设当k

∑∑∑∑∑-=-=--==--=--=•--=-=11

1

1

11

1

1

)1()1(t i t i

k i k i k k t p

p

t k k

i p i k i k k

t

p

t k k

t k p t C C i

t i C C

t C A t A

由引理（4）式可知：

∑∑∑=--=--=+-•-=•-+=-•-=t

i p

i t i t t t i p

i t i t p

t i i t i t p p

k i C A i C t C i t A 1

1

1

1

1

1

)1()1()1(

即结论对于k=t 也是成立的。 （证毕）

备注；【1】/21285536?ptlang=2052