等差数列的前n项和优质课比赛课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又 a15＝65＋(15－1)d＝－23，
∴d＝－16.
(2)由已知，得 S8＝8a1＋ 2 a8＝84＋2 a8，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都 可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可 知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组) 求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
知三求二
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n
Sn
n(a1 an) 2
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计 1 算 2 3 ： ( n 1 ) n ①
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 2 1 2 3 ( n 1 ) n n ( n 1 )
一个具体
的等差数 列前n项
和.
12 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差 数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
S 1 9 1 9 2 1 1 9 1 2 9 1 1 5 7 0 块
等差数列的前n项和优质课比赛课件
高斯（Gauss,1777—1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，是历 史上最伟大的数学家之一，被 誉为“数学王子”.
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？
(2)S17＝17×a21＋a17＝17×a23＋a15＝17×2 40＝340.
题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题 【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工 程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资 金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内， 该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101 就 等 于 5050 了 。 高 斯 算 法 将 加 法 问 题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
创设情景
平行四 三边角形形
若V形架的的ห้องสมุดไป่ตู้下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 的资金构成等差数列{an且}，a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为
S10=10500+10(1 201)50=7250(万元)
答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程中的总投入是7250万元.
【变式2 】 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面 一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层， 共铺瓦片多少块？
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 S n a 1 a 2 a 3 a n ①
S n a n a n 1 a n 2 a 1 ②
2 S n a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
【变式1】 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解 (1)S5＝5a1＋5×2 4d＝5， a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. S10＝10a1＋10× 2 9d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
95)
500
解 ： 2Snna1n(n21)d 5010050(501)-2 2550
2
题型一 与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例1】已知等差数列{an}． (1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d. (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. [思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程． 解 (1)由题意，得 Sn＝na12＋an＝n562－23＝－5， 解得 n＝15.
n
a1
Sn na1n(n21)d
a1 an(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的
等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 500 （2）a1=100，d=－2，n=50 2550
解： 1Sn
n(a1an) 2
10
(5 2
又 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
2Snn(a1an)
即Sn
n(a1 an) 2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 差由等数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
∴d＝－16.
(2)由已知，得 S8＝8a1＋ 2 a8＝84＋2 a8，解得 a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都 可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可 知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组) 求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
知三求二
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n
Sn
n(a1 an) 2
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计 1 算 2 3 ： ( n 1 ) n ①
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 2 1 2 3 ( n 1 ) n n ( n 1 )
一个具体
的等差数 列前n项
和.
12 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差 数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
S 1 9 1 9 2 1 1 9 1 2 9 1 1 5 7 0 块
等差数列的前n项和优质课比赛课件
高斯（Gauss,1777—1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，是历 史上最伟大的数学家之一，被 誉为“数学王子”.
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？
(2)S17＝17×a21＋a17＝17×a23＋a15＝17×2 40＝340.
题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题 【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工 程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资 金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内， 该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101 就 等 于 5050 了 。 高 斯 算 法 将 加 法 问 题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
创设情景
平行四 三边角形形
若V形架的的ห้องสมุดไป่ตู้下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 的资金构成等差数列{an且}，a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为
S10=10500+10(1 201)50=7250(万元)
答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程中的总投入是7250万元.
【变式2 】 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面 一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层， 共铺瓦片多少块？
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 S n a 1 a 2 a 3 a n ①
S n a n a n 1 a n 2 a 1 ②
2 S n a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
【变式1】 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解 (1)S5＝5a1＋5×2 4d＝5， a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. S10＝10a1＋10× 2 9d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
95)
500
解 ： 2Snna1n(n21)d 5010050(501)-2 2550
2
题型一 与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例1】已知等差数列{an}． (1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d. (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. [思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程． 解 (1)由题意，得 Sn＝na12＋an＝n562－23＝－5， 解得 n＝15.
n
a1
Sn na1n(n21)d
a1 an(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的
等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 500 （2）a1=100，d=－2，n=50 2550
解： 1Sn
n(a1an) 2
10
(5 2
又 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
2Snn(a1an)
即Sn
n(a1 an) 2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 差由等数列的通项公式 an = a1+(n-1)d