专题四 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换答案
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
谢谢聆听
02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
三角函数的诱导公式与恒等变换
三角函数的诱导公式与恒等变换三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在学习三角函数时，了解三角函数的诱导公式和恒等变换可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角函数的诱导公式和恒等变换，并探讨其在解题中的应用。
一、诱导公式1. 正弦函数的诱导公式我们知道，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将正弦函数表示为cosine的形式，即sinθ = √(1 - cos²θ)。
进一步地，我们可以应用勾股定理将正弦函数表示为另外两个三角函数的形式。
勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
假设直角边a是对边，直角边b是邻边，斜边c是hypotenuse。
则a/hypotenuse = sinθ，b/hypotenuse = cosθ。
根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式sinθ = cos(90° - θ)。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将余弦函数表示为sine 的形式，即cosθ = √(1 - sin²θ)。
同样地，根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式cosθ =sin(90° - θ)。
3. 正切函数的诱导公式正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
利用正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到正切函数的诱导公式tanθ = sinθ/cosθ。
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
例2
(2020届河北衡水金卷周考卷(四),14)若tan
θ-
1-sin6θ 1-sin4θ
-cos6θ -cos4θ
=0,则cos2θ+
1 sin 2θ的值为
.
2
解析
由已知得tan
θ=
1-sin6θ 1-sin4θ
-cos6θ -cos4θ
=
sin2θ sin2θ
cos2θ-sin6θ-cos6θ cos2θ-sin4θ-cos4θ
例1 (2019福建三校联考,3)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的
非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ = ( )
A.- 4 B.- 3 C. 2 D. 3
5
5
3
4
解析 解法一:设角θ的终边上任一点为P(k,2k)(k≠0),则r= k 2 (2k)2 = 5 |k|.
α
π
2kπ,k
Z
α
|
π
2kπ
α
3π 2
2kπ,k
Z
α
|
3π 2
2kπ
α
2π
2kπ,k
Z
2.终边相同的角
终边落在x轴上的角的集合 终边落在y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 终边与角α终边相同的角的集合
{α|α=kπ,k∈Z}
α|α
π 2
kπ,k
Z}
α|α
kπ 2
,k
Z}
{β|β=α+2kπ,k∈Z}
.
解析
∵sin
α-
π 4
=
72 10
,∴
2 (sin α-cos α)= 7 2 ,即sin α-cos α= 7 ①,两边平
三角函数恒等变换,辅助角公式,诱导公式
三角函数恒等变换,辅助角公式,诱导公式1. 三角函数恒等变换三角函数恒等变换是三角函数中一个重要的知识点，主要涉及到三角函数的加、减、乘、除等运算。
通过恒等变换，可以将复杂的三角函数式化简为简单的形式，从而方便计算。
常见的三角函数恒等变换公式包括：(1) 降幂公式：$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$，$cos2\theta =cos^2\theta - sin^2\theta$，$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$。
(2) 倍角公式：$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$，$cos2\theta = cos^2\theta - sin^2\theta$，$tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1 -tan^2\theta}$。
(3) 和差化积公式：$sin(a+b) = sinacosb + cosasinb$，$cos(a+b) = cosacosb - sinasinb$。
(4) 积化和差公式：$sinacosa = \frac{1}{2}[sin(a+a) - sin(a-a)]$，$cosacosa = \frac{1}{2}[cos(a+a) + cos(a-a)]$。
2. 辅助角公式辅助角公式是三角函数中一个重要的化简工具，主要用于将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式。
通过辅助角公式，可以方便地求出三角函数的值域、最值、单调性等性质。
常见的辅助角公式包括：(1) $asinx + bcosx = \sqrt{a^2+b^2}sin(x + \varphi)$，其中$\varphi$ 是辅助角，满足 $tan\varphi = \frac{b}{a}$。
(2) $asinx - bcosx = \sqrt{a^2+b^2}cos(x + \varphi)$，其中$\varphi$ 是辅助角，满足 $tan\varphi = \frac{a}{b}$。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念角的概念包括正角、负角和零角。
其中正角是逆时针旋转而成的角，负角是顺时针旋转而成的角，零角是射线没旋转而成的角。
角α的弧度范围为(−∞,+∞)。
角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）。
弧度制度是半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α=l/r（弧度或rad）。
与角α（弧度）终边相同的角的集合为β=α+2kπ，k∈Z，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变。
弧度或rad可省略。
两制互化时，只需记忆π=180，1=π/180两个换算单位即可。
6）弧长公式：l=αr(α∈(0,2π])，扇形面积公式：S=1/2lr=αr2/2.底高=lr，如图4-1所示。
注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=l*r/2.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点P(x,y)（非原点O），则P到原点O的距离r=OP=sqrt(x^2+y^2)。
sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广。
类比，对∠y，邻∠x，斜∠r，如图4-2所示。
2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例。
角α的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sinα=MP>0，cosα=OM<0，tanα=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中r=sqrt(x^2+y^2)=1，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。
在第一、二象限，三角函数值为正；在第三、四象限，sinα为负，cosα和tanα为正。
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
三角函数的诱导公式 课件
公式三
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y
P(x,y)
α
O
x
-α
P(x,-y)
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
α
α
O
x
公式二 公式三 公式四
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
公式一～公式六 叫到诱导公式
例3
证明
:1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin.
1 sin
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科
三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。
注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。
)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角函数解三角形简单的三角恒等变换课件文ppt
03
介绍了如何使用三角恒等变换的法则，如和差角公式、二倍角公式和辅助角公式等，来简化三角函数的计算。
强调了本课程的学习重点，包括掌握三角函数的定义、理解求解三角形解的步骤、熟练应用三角恒等变换的法则等。
学习重点
介绍了学习技巧，如多做练习题、善于总结和积极思考等，以帮助学生更好地掌握本课程的内容。
分析解三角形的基本思路和方法
课程简介
02
三角函数基础知识
角度制与弧度制
角度制是日常生活中常用的表示角的方式，而弧度制是以弧长与半径的比值来表示角的大小，其单位是rad。
角度与弧度的换算
对于一个角度a（度），其弧度表示为ra，且1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
角与弧度
正弦函数（sine function）
正弦函数的图像与性质
余弦函数的图像与性质
正切函数的图像与性质
三角函数图像与性质
03
解三角形基础知识
正弦定理是指三角形中任意两边之比等于其对应两角的正弦之比，即sinA/sinB = a/b。这个定理可以用来解决一些有关三角形的问题。
证明方法：使用三角形面积公式S = 1/2ab sinC，将等式两边同时除以ab，得到sinA/sinB = a/b。
练习题
练习1
安排有一定难度的题目，挑战学生对知识的综合运用能力。
练习2
将练习题与实际生活相结合，培养学生解决实际问题的能力。
练习3
06
课程总结
三角函数的定义
01
三角函数是数学中描述三角形中角度和边长之间关系的工具，包括正弦、余弦和正切等。
主要内容回顾
求解三角形解的步骤
02
通过已知条件，利用三角函数定义和三角恒等式逐步推断出三角形中各角度和边长之间的关系，从而求出三角形的解。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角2k π+α(k ∈Z)π+α-α图示与α角终边的关系相同 关于原点对称关于x 轴对称角 π-α2π-α 2π+α图示与α角终边的关系 关于y 轴对称关于直线y=x 对称2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角2k π+απ+α-απ-α2π-α2π+α(k∈Z)正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα- cosαcosα- cosαsinα-sinα正切tanαtanα- tanα- tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。
记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。
其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。
二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=22tan21tan2αα+, cosα=221tan21tan2αα-+3、形如asinα+bcosα的化简asinα+bcosα=22a b+α+β).其中cos β22a b+,sinβ22a b+三、简单的三角恒等变换1、用cosα表示sin22α,cos22α,tan22αsin22α=1cos2α-;cos22α=1cos2α+;tan 22α=1cos 1cos αα-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。
2、用cos α表示sin 2α,cos 2α,tan 2αsin 2α=cos 2α=tan 2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2α tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 四、常用数据: 30456090、、、的三角函数值 6sin15cos 75-==,42615cos 75sin +==3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。
2024年高考数学专题复习第9讲三角函数的概念和诱导公式
推导出诱导公式.理
解同角三角函数的基
本关系式
知识聚焦
核心考点
学业水平评价要求
了解
理解
理解
理解
理解
-2-
第9讲
三角函数的概念和诱导公式
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
1.象限角
使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,
角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在
坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是
S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
3.弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,正角的弧度
数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
-3-
第9讲
三角函数的概念和诱导公式
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
4.角度制和弧度制的互化
π
180
180°=π rad,1°=
180
)°.
π
rad,1 rad=(
5.扇形的弧长及面积公式
1
2
1
2
弧长公式:l=αr,面积公式:S= lr= αr2,其中 r 为扇形的半径.
6.任意角的三角函数
任意角 α 的终边上一点 P(x,y),sin α=
-cos α
tan α
-sin α
cos α
-tan α
sin α
-cos α
-tan α
符号看象限
核心考点
四
π+α
口诀 函数名不变
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
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目录
三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
三角函数的定义及诱导公式
三角函数在解析几何、微积分 等领域也有着重要的应用，是 数学基础的重要组成部分。
未来发展的方向和趋势
随着科技的发展，三角函数的应用领域将不断扩大，例如在信号处理、图像处理和 人工智能等领域的应用将更加广泛。
随着数学理论的发展，三角函数的性质和定理将不断被深入研究和探索，例如对三 角函数积分、微分和级数展开等方面的研究将更加深入。
sinθ=oppθsin theta = frac{text{opp} theta}{text{hypot}}θsin =hyppθ
余弦函数
cosθ=hypθcos theta = frac{text{hyp} theta}{text{hypot}}θcos =hypθ
正切函数
tanθ=oppθhyptan theta = frac{text{opp} theta}{text{hyp}}θtan=h ypθopp
三角函数在几何学中的应用
角度和弧度的转换
在几何学中，角度和弧度是描述角大小的两种常用单位。 三角函数可以用于将角度转换为弧度或将弧度转换为角度。
三角形边长和角度的关系
在几何学中，三角形的边长和角度之间存在一定的关系， 可以通过三角函数来描述这些关系。例如，正弦、余弦和 正切函数可以用于计算三角形的边长。
稳定性计算等。
03
音乐和声音处理
在音乐和声音处理中，三角函数可以用于进行音频信号的合成、调制和
滤波等操作。例如，正弦波可以用于合成音乐和声音，余弦波可以用于
进行音频降噪等处理。
05
总结与展望
பைடு நூலகம்
三角函数的重要性和意义
三角函数在数学、物理、工程 等领域有着广泛的应用，是解 决实际问题的重要工具。
第09讲-三角函数概念、诱导公式和三角恒等变换.docx
专题四三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换一、选择题1. （2018全国卷I ）己知角&的顶点为坐标原点，始边与兀轴的非负半轴重合，终边上有两3. （2018北京）在平面坐标系中，AB, CD, EF , GH 是圆x 2 + /=l 上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角a 以Or 为始边，0P 为终边，若tana vcosa vsina , 则P 所在的圆弧是A.AB B. CD C. EFD. GH4. （2017 新课标III ）已知sina- -cos a =4—,则 sin 2a = 37 2 27A.—— B ・- —C.—D. —99 9935. （2017 山东）已知cosx = —，则cos2x = 41 1 1 1 A. -— B.—C.—— D.-4 48 8 6. （2016 年全国 III 卷）若 tan6> = --,贝0cos 20 = 34 1 1 4 A.—— B.—— C ・ 一D. 一5 5 552.2点 A （1,6Z ）, B （2,b ）,且cos2a =亍，则\a-b C.迈 5B.色 5（2018 全国卷III ）^sina = -, 7 B.- 91 A.—5 则 cos la =D ・18 A.- 9C- D.1 1 55 A ・一B • —C ・D ・一76768. （2015 福建）若sin — 一市血为第四彖限角,则tan a 的值等于12 12 5 5 A ・B.—— C.D ・——5512129. （2014 新课标 1）若 tan > 0,则A. sin （7 > 0B • COS6Z >0 C. sin 2a >0 D. cos 2a >010. （2014新课标 1）设6^G （0,-）, Z?e （0,-）,且tan€Z= 1+Sin/?,则2 2 cos 0T[JT T[7T A. 3a-f3 = —B. la — P = —C. 3a + 0 = —D. 2Q + 0 =—22 2211. （2014江西）在AABC 屮，内角A, B, C 所对应的边分别为a,b,c,若3ci = 2b ,则sin 2 Ay = 2x 上，贝ij cos 20 =12. 13. 14. 1B. 一32TC （2013 新课标 2）已知 sin 2a ——,则 cos 2（<z 4—）3 4 1 2 C. — D.— 2 31 A.- 6 1 B.- 3C. 1D-（2013浙江） 4 A.-3（2012山东） 已知 a G 7?,sintz + 2cos6z 二』13 ,则 tan 2a =24 D.--3若处71 714^sin2& =乎，则sing3A-- 5 4 B. —515.、e 卄 sin & +cos a（2012江西）若 --------- sin a - cos «B. A 4 —,则 tan2a= 216. 3A.— 一4（2011新课标） 已知角&的顶点与原点重合， 4D.- 3始边与兀轴的正半轴重合，终边在直线三、 解答题4 3 3 4 A.B.C. —D.—555 5（2017北京）在平面直角坐标系xOy^,角&与角0均以Ox 为始边，它们的终边关兀 1（2017 江苏）若tan （cr ——）=—,则 tancr = ________ ・4 6（2016年全国I 卷）已知〃是第四象限角，Ksin （^ + -） = -,则tan （^--） =4 5 4 （2015 四川）已知sina + 2coso = 0 ,则 2sincrcos6Z-cos 2 a 的值是 _______________ （2015 江苏）已知 tan a =-2, tan （« + /?） = y ,则 tan 0 的值为 __________ . （2014 新课标 2）函数 /（x ） = sin （x+2（p ）-2sin^cos （x+的最大值为 _________TT（2013新课标2）设&为第二象限角，若Um 0 + — \ 4丿7T（2011 浙江）若0<a<—,2COS （—+ Q ）C0S （I 4）=T'则COS （Q + £）B.（2010新课标）若cosaQ 是第三象限的角, . a1 + tan —则 ------ =[ a1 - tan —21 1A.-------B. — C ・ 22 2D. -2填空题TT（2017新课标I ）已知处（0运），tan 6Z = 2 ,则 cos （a --------------------------------于y 轴对称.若sinQ 二亍则 sin 0 =,贝i 」sin& + cos&= ___（2013 四川）^sin2a =-sina ,jra e （―，^）,则 tan 2a 的值是（2012江苏）设&为锐角, （ \-fcf-兀 右 cos a+ — 329. (2018浙江)已知角Q 的顶点与原点0重合，始边与兀轴的非负半轴重合，它的终边过⑴求sin(a + ;r)的值;⑵若角0满足sin(cr+ /?)=—,求cos0的值.1_ 4x/5(2018 江苏)己知％0 为锐角，tan « = — , COS (Q + 0) = -----------3 5(1)求cos 2a 的值;⑵求tan(a —0)的值.(兀、⑴求/ —的值;I 3丿30. 31. (2015 广东)B 知 tana = 2.71(I )求 tan(cif+ —)的值;4sin 2a(II)求一s ---------------------------------------- 的值.sirr a + sin a cos a 一 cos 2a 一 1 32. (2014 江苏)己知 a e (―,TT ) » sincr =^- 2 5(l)>J<sin(^ + Qf)的值；4⑵求cos(— - 2a)的值.633. / 、(2014 江西)已知函数 /(%) =4-2cos 2 x)cos (2x+为奇函数，且/ — 14丿=0,其34.(1)求a, 0的值;⑵若f(- 14丿/7112「/ 、TT求sin Q + —的值.(2013广东)已知函数/(%) = 4171cos X -------I 12丿八 3门(71 (2)右cos& = — ,&$¥，2龙 ,求/ 0-- 5< 2 丿1 6丿35. (2013 北京)已知函数 /(x) = (2cos 2 x-1)sin2x +1cos4x(1)求/(兀)的最小正周期及最大值.jr36. (2012广东)己知函数/(x) = 2cos (69X + —),(其中e>0, x G 7?)的最小正周期为 6IO TT • (1) 求Q 的值；(2) 设 Q ,0 w [0,牙],f(5a + —/r)=——TT(2)若aH.f(a)V 2,求 COS (G + 0)的值.617。
专题四 三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
22
4
3
42 3
cos( + ) = 2
A． 3 3
B． − 3 3
C． 5 3 9
D． − 6 9
15．（2010 新课标）若 cos
= − 4 ， 5
1+ tan
是第三象限的角，则
2
1− tan
=
2
1
1
二、填空题
16．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 f (x) = 2 sin x + sin 2x ，则 f (x) 的最小值是_____．
于 y 轴对称．若 sin = 1 ，则 cos( − ) =___________． 3
20．（2017 江苏）若 tan( − ) = 1 ，则 tan =
．
46
21．（2015 四川） sin 15 + sin 75 =
．
22．（2015 江苏）已知 tan = −2 ， tan ( + ) = 1 ，则 tan 的值为_______．
7
23．（2014 新课标Ⅱ）函数 f ( x) = sin ( x + 2 ) − 2sin cos ( x + ) 的最大值为____．
24．（2013
新课标Ⅱ）设
为第二象限角，若
tan
+பைடு நூலகம்
4
=
1 2
，则
sin
+
cos
=___．
25．（2013 四川）设 sin 2 = − sin ， ( , ) ，则 tan 2 的值是_____． 2
专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
三角函数的概念诱导公式与三角恒等变换
⎝⎭ 专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2021 年1.〔2021 北京 9〕函数 f (x ) = sin 22x 的最小正周期是.2.〔2021 全国Ⅲ理 12〕设函数 f (x )=sin 〔ωx + π〕(ω＞0)， f (x )在[0, 2π]有且仅5有 5 个零点，下述四个结论：① f (x )在〔0, 2π 〕有且仅有 3 个极大值点 ② f (x )在〔0, 2π 〕有且仅有 2 个极小值点 ③ f (x )在〔0, π〕单调递增 10④ω的取值范围是[12 ，29) 5 10A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.〔2021 天津理 7〕函数 f (x ) = A sin(ωx +ϕ)(A > 0,ω> 0,|ϕ|< π) 是奇函数，将y = f (x ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍〔纵坐标不变〕，所得图像对应的函 数为 g ( x ).假设 g (x ) 的最小正周期为2π ，且 g⎛ π ⎫ = 2 ，那么 f ⎛ 3π ⎫= 4 ⎪ 8 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭A. -2B. - 2C. 2D.2π4.〔2021 全国Ⅱ理 10〕 α∈(0， 2)，2sin 2α=cos 2α+1，那么 sin α=A ． 15B ．55C ．3D ． 2 535tan α = - 2⎛π⎫5.〔2021 江苏 13〕 tan ⎛α+ π ⎫ 3 ，那么sin 2α+ 4⎪ 的值是.4 ⎪ ⎝ ⎭6.〔2021 浙江 18〕设函数 f (x ) = sin x , x ∈ R .〔1〕θ∈[0, 2π), 函数 f (x +θ)是偶函数，求θ的值；〔 2〕求函数 y = [ f ( x + π )]2 +[ f ( x + π)]2 12 4的值域.一、选择题2021-2021 年1．(2021 全国卷Ⅲ)假设sin α= 1，那么cos 2α= 3A ． 89B ． 79C ． - 79D ．- 892．〔2021 年全国 III 〕假设tan α= 34，那么cos 2α+ 2sin 2α=A ．6425 B ．48 25C ．1D ． 16253．〔2021 年全国 II 〕假设cos(π-α) = 3，那么sin 2α= 〔 〕45A ． 725 B ． 15C ． - 15D ． - 7254．〔2021 新课标Ⅰ〕 s in 20 cos10 - cos160 sin10 =A ．-32B ．3 2πC ． - 12 cos(α- 3π)D ． 125．〔2021 重庆〕假设tan α= 2 tan 5 ，那么 10 ＝ sin(α- π)5A ．1B ．2C ．3D ．46．〔2021 新课标Ⅰ〕假设tan α> 0 ，那么A ． s in α> 0B ． cos α> 0C ． sin 2α> 0D ． cos2α> 07．〔2021 新课标Ⅰ〕设α∈ (0,π) ，β∈ (0,π) ，且tan α=1 +sin β，那么A ．3α- β=π22B ． 2α- β=π22C ． 3α+ β=π2cos βD ．2α+ β=π28．〔2021 江西〕在∆ABC 中，内角 A ，B ，C 所对应的边分别为a ,b , c , ，假设3a = 2b ，那么2 sin2 B -sin2 Asin 2 A的值为〔〕A．-19B．13C．1 D．729．(2021 新课标Ⅱ)sin 2α=2，那么cos2(α3π) =〔〕4A．16B．13C．12D．2310．〔2021 浙江〕α∈R,sinα+2cosα= 10，那么tan 2α=2A．4B．3C．-3D．-4 3 4 4 311．〔2021 ft东〕假设θ∈⎡π, π⎤，sin2θ=37，那么sinθ=⎢⎣4 2 ⎥⎦8A．3B．4C．7D．3 5 54 412．(2021 江西)假设sinα+ cosα=1，那么tan2α=A．−34sinα-cosαB．342C．−43D．4313．〔2021 新课标〕角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，那么cos2θ=A．-45B．-35C．35D．4514．〔2021 浙江〕假设0＜α＜π，-π＜β＜0，cos(π+α)=1，cos(π-β)=3，那么2 2cos(α+β) =24 3 4 2 3A．33 B．-33C．5 394D．-691 +tanα15．〔2021 新课标〕假设cosα=-5，α是第三象限的角，那么2 = 1 -tanα2A．-12B．12C．2 D．-2+1 二、填空题16．(2021 全国卷Ⅰ)函数 f (x ) = 2sin x + sin 2x ，那么 f (x ) 的最小值是．17．(2021 全国卷Ⅱ)sin α + cos β = 1 ， cos α + sin β = 0 ，那么sin(α + β) = ．18．〔2021 新课标Ⅱ〕函数 f (x ) = sin 2 x +3 cos x - 3( x ∈[0, π]) 的最大值是．4219．〔2021 北京〕在平面直角坐标系 xOy 中，角α 与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．假设sin α= 1，那么cos(α- β) = ． 320．〔2021 江苏〕假设tan(α- π) = ，那么tan α=．4 621．〔2021 四川〕 sin15+ sin 75=．22．〔2021 江苏〕tan α= -2 ， tan (α+ β) =1，那么tan β的值为．723．〔2021 新课标Ⅱ〕函数 f (x )= sin (x + 2ϕ)- 2sin ϕcos (x +ϕ) 的最大值为．24．〔2021 新课标Ⅱ〕设θ为第二象限角，假设 tan ⎛ +π⎫ = 1 ，那么sin θ+cos θ= ．θ 4 ⎪ 2⎝⎭ 25．〔2021 四川〕设sin 2α= -sin α，α∈ (π,π) ，那么tan 2α的值是．226．〔2021 江苏〕设α为锐角，假设cos ⎛α+ π ⎫ = 4 ，那么sin ⎛2α+ π ⎫ 的值为 ．6 ⎪ 5 12 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭三、解答题27．〔2021 江苏〕α,β 为锐角，tan α= 4 ，cos(α+ β) = -5 ．35(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α- β) 的值．28．〔2021 浙江〕角α 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过3 4点 P (-5 , - 5) ．(1)求sin(α+π)的值；(2)假设角 β满足sin(α+ β) =5，求cos β的值．1329．〔2021 浙江〕函数 f (x ) = sin 2 x - cos 2 x - 2 3sin x cos x (x ∈ R ) ．⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ 2π〔Ⅰ〕求 f ( 3) 的值；〔Ⅱ〕求 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间．30．(2021 江苏)α∈(π,π) ， sin α= 5．25 (1)求sin(π+α) 的值；4 (2)求cos(5π- 2α)的值．631．〔2021 江西〕函数f (x )= (a + 2 cos 2 x )cos (2x +θ) 为奇函数，且 f ⎛π⎫= 0 ，其 4中a ∈ R ，θ∈ (0，π) ． 〔1〕求a ，θ的值； 〔2〕假设 f ⎛α⎫ = - 2，α∈⎛π⎝ ⎭π⎫ ，求sin ⎛ α+ π⎫的值． 4 ⎪ 52， ⎪3⎪32．〔2021 广东〕函数 f (x ) =2 cos ⎛x - π⎫ , x ∈ R ．12 ⎪ ⎝ ⎭(1) 求 f⎛π⎫的值； ⎝ ⎭(2) 假设cos θ= 3 ,θ∈ ⎛3π, 2π⎫，求 f ⎛θ- π⎫．52 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭33．〔2021 北京〕函数 f (x ) = (2 cos 2 x -1)sin 2x + 1cos 4x2〔1〕求 f (x ) 的最小正周期及最大值；〔2〕假设α∈ (π,π) ，且 f (α)=22 ，求α 的值．234．〔2021 广东〕函数 f (x ) = 2 cos(ωx + π) ，〔其中ω>0 ， x ∈ R 〕的最小正周期为610π． (1)求ω的值；(2)设α,β∈[0,π] , f (5α+5π) = - 6 , f (5β- 5 π) =16,求cos(α+ β) 的值．2 35617。
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
三角函数复习知识梳理一：1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．2、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是． 3、弧度制与角度制的换算公式：，，．4、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．5、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．6、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．7、三角函数线：，，．8、角三角函数的基本关系：；．题型一：任意角、弧度制与三角函数的定义1.若0cos sin >θθ，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 2.若0tan >α，则（ ）A ． 0sin >αB ． 0cos >αC ．02sin >αD ． 02cos >α3. 若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角4.已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 5．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )1r αl αl rα=2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+21122S lr r α==ααP (),x y ()r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠sin α=MP cos α=OM tan α=AT ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭A ．1B ．4C ．1或4D ．2或46．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2 7．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π68. 若α为第二象限角，则|sin α|sin α＋tan α|tan α|的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．不存在 9.已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－3410. 已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A ．－33 B ．±33 C ．－32 D ．±3211. 已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32 D.3212. 在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． 13. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.14.若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. 知识梳理二：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 26、22tan tan 21tan ααα=-． 27、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
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专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换答案部分1．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 2．A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ． 3．D【解析】因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos αα+=，所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 4．D 【解析】原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==． 5．C 【解析】3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin1010tan cos sin55ππαππα+=- 33cos 2tan sin 105102tancossin555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+= ＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C ． 6．C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 7．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，所以22παβ-=．8．D 【解析】2222sin sin sin B AA-=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b =，∴上式=72．9．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 10．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-， 于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．11．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D ． 另解：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ，可得sin cos θθ+==34===+，而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时 θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ． 12．B 【解析】分子分母同除cos α得：sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-，∴22tan 3tan 21tan 4ααα==-13．B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得，tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++． 14．C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，而3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈，因此sin()43πα+=，sin()423πβ-=，则1cos()233339βα+=⨯+=15．A 【解析】 ∵4cos 5α=-，且α是第三象限，∴3sin 5α=-， ∴1tan21tan2αα+=-2cossin(cossin )2222cos sin (cos sin )(cos sin )222222αααααααααα++=--+221sin 1sin 1cos 2cos sin 22ααααα++===--．16．2-【解析】解法一 因为()2sin sin 2=+f x x x ， 所以21()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2'=+=+-=-+f x x x x x x x ，由()0'≥f x 得1cos 12≤≤x ，即2233ππππ-+≤≤k x k ，， 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ，即223ππππ++≤≤k x k或223ππππ--≤≤k x k ，∈Z k ，所以当23ππ=-x k （∈Z k ）时，()f x 取得最小值，且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332ππππππ=-=-+-=-f x f k k k ． 解法二 因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x ， 所以2223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27[]344-++++++⋅=≤x x x x ， 当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ，即1cos 2=x 时取等号，所以2270[()]4≤≤f x ，所以()f x的最小值为．17．12-【解析】∵sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ， ∴22sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①，22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②，①②两式相加可得2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=，∴1sin()2αβ+=-． 18．1【解析】化简三角函数的解析式，则()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 19．79-【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+， 所以1sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==，cos cos βα=-；222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-2172()139=⨯-=-．20．75【解析】tan()tan 744tan tan[()]4451tan()tan 44ππαππααππα-+=-+==--⨯． 21．26sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=．22．3【解析】12tan()tan 7tan tan()321tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-． 23．1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ϕϕϕϕ=++-+sin()cos cos()sin x x ϕϕϕϕ=+-+sin()sin x x ϕϕ=+-=．∵x R ∈，所以()f x 的最大值为1．24．∵1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,可得1tan 3θ=-，∴sin θθ==，sin cos θθ+=5-．25 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-，又(,)2παπ∈，则tan α=22tan tan 21tan 13ααα-===--26．50217【解析】 因为α为锐角，cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=35，∴sin2(,2524)6=+παcos2(7)625πα+=，所以sin(50217251722]4)6(2sin[)122=⨯=-+=+ππαπα． 27．【解析】(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+==， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-．29．【解析】（Ⅰ）由2sin3π=21cos 32π=-，2()3f π2211(()()2222=---- 得2()23f π=． （Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(2)6f x x x x π=--=-+所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )．30．【解析】（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==()sin sin cos cos sin sin )αααααπππ+=++=（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．31．【解析】（1）因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，所以2cos(2)y x θ=+为奇函数，又()0,θπ∈，得2πθ=．所以()f x =2sin 22cos x a x -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得(1)0a -+=，即 1.a =- （2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭32．【解析】（1）() 1.3124f πππ-==（2）33cos ,52πθ=由于<θ<2π，所以4sin 5θ===-，因此())6612f πππθθ-=--=)cos sin )444341()555πππθθθ=-==-=-33．【解析】：（1）21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x =+)24x π=+ 所以，最小正周期242T ππ== 当4242x k πππ+=+(k Z ∈)，即216k x ππ=+(k Z ∈)时，max ()2f x =． （2）因为()sin(4)242f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<，所以5442ππα+=，即916πα=．34．【解析】（1）21105T ππωω==⇔=． （2）56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==．4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．。