傅立叶变换、时频分析与小波

小波变换
小波变换
加窗傅立叶变换
小波变换 这里的基函数不再是三角函数
什么是小波变换？
∫ ( ) WT x ( a ,τ ) =
x (t ), ψ a ,τ (t )
=
1 a
x (t )ψ
R
t −τ a
dt
∫ ∫ x (t )
=
1 Cψ
+∞ da
−∞ a2
+∞
WT
−∞
x
(a
,τ
)ψ
a ,τ
(t ) d τ
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出 傅里叶分析 ， 1822年发表 “热 传导解析理论”论 文
小波分析发展历史
1910年 Haar 提出 最简单的小波
小波分析发展历史
1980年 Morlet 首先 提出平移伸缩的小波 公式，用于地质勘探 。
小波分析发展历史
1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出 “正交小波基”，此后形成小波研究的高 潮。
小波系数分级方块表示法
近似图象
第1级 L1 垂直细节
第3级 L3 第2级 L2细节
第1级 L1 水平细节 第1级 L1 斜线细节
小波系数分级树形表示法
第 1 级 L1分辨率 第 2 级 L2分辨率 第 3 级 L3分辨率
小波图象编码
EZW (Embedded Zerotree Wavelet) SPIHT(Set Partitioning In Hierarchical
低频滤波系数
高频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q = [ q q]
H1= [ 1 -1] ×q =[ q -q]
其中： q = 2 ≈ 0.7071
Haar小波的基函数
H0= [ 1 1] ×q
尺度函数 近似基函数
H1= [ 1 -1] ×q
q = 2 ≈ 0.7071
小波函数 细节基函数
第 1 行基函数是取平均（近似）， 第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
JPEG2000（4914 bytes）
JPEG2000简介
JPEG（2598 bytes）
JPEG2000简介
JPEG2000（2640 bytes）
结束语
Facing the unusual popularity of wavelets in sciences, I began to wonder whether this is just another fashion that would fade away with time. After several years of research and teaching on this topic, and surviving the painful experience of writing a book, you may rightly expect that I have calmed my anguish. This might be the natural self-delusion affecting any researcher studying his corner of the world, but there might be more.
小波分析发展历史
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论 （MRA），统一了语音识别中的镜向滤 波，子带编码，图象处理中的金字塔法 等几个不相关的领域。
多分辨分析
——离散小波变换与信号分析的桥梁
多分辨分析（MRA, Multiple Resolution Analysis）
1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
小波信号处理系列讲座 （1）
傅立叶变换、时频分析与小波
Fourier Transform, Time-frequency Analysis and Wavelet
茅耀斌 南京理工大学自动化系
2005.3.31
The most widely used signal processing tool is the FFT; the most widely misused signal processing tool is also the FFT
-James Kaiser
Outline
时变信号与瞬变信号 傅立叶变换、短时傅立叶变换与小波
变换 小波的特点及历史 多分辨分析 小波分析的应用 结束语
瞬变的世界
我们应该都有这样的经历，在餐厅与朋友聊天 时，开始觉得很吵，一会儿后觉得听不到周围 其他人的说话声音便不觉得吵。然而倘若我们 突然停止谈话，我们很快就会在意周围人们的 交谈。很明显，我们的注意力被突然的环境改 变所吸引。我们周围每天都有很多信息在交 流，而我们只将注意力集中在周围环境的突然 改变上，这很可能是我们的感知系统从一堆信 号中选择重要信息的一种方法。 ——S. Mallat (A Wavelet Tour of Signal Processing)
奇异点检测
小波去噪
小波去噪
小波去噪
小波变换用于图象压缩
采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计 特性有改善，消除行和列之间的相关关系。
有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波 系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编 码，如算术编码或霍夫曼编码。
无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误 差。但不能进行比特分配。
细节包括变化速率和发生的时间。
小波基可以通过给定滤波系数生成
• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过 给定滤波系数生成。
• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是对称的，有的是非对称的。
• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波 系数直接导出，而不需要确切知道小波基 函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现， 使计算简化，是快速小波分解和重建的基 础。
Trees) EBCOT(Embedded BloFra Baidu bibliotekk Coding with
Optimized Truncation)
EZW图象编码
W---Wavelet（小波） E---Embedded （嵌入编
码，也称为Progressive coding，就是将压缩图 象的码流按精度递增或 重要性递增的顺序排 列，这意味着，当获得 更多的编码比特时，解 码的图象将更清晰） Z---Zerotree（零树）
当在某一个分辨度检测不到的现象， 在另一个分辨度却很容易观察处理。
参考：
M. Vetterli,
“Wavelets and Subband Coding”,
Prentice Hall PTR, 1995, pp.11
Haar小波基母函数
（a）Haar “近似”基函数 （b）Haar “细节”基函数
∫ F (ω) = +∞ f (t)e− jωtdt −∞
傅立叶变换可以这样认为：一个信号f(t) 用一组基函数
来表示，对傅立叶变换来说，这组基函数 是正弦或余 弦函数，它们以复函数的形式表示。
使用傅立叶变换，我们可以在频率域里来分析和解释 信号，它以一种不同于时域表示的形式来表示信号。
傅立叶变换
JPEG2000的编解码一般流程
JPEG2000编解码器结构
JPEG2000简介
JPEG2000与JPEG的压缩性能比较
从PSNR指标上看，JPEG2000的压缩性能是 传统JPEG方法的2倍
JPEG2000简介
Boat (original image)
JPEG2000简介
JPEG（4657bytes）
小波特性：用小波基来表示一个信号
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基 “时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基 （中） 和时间采样基（下）的比较
小波的优点
小波变换，既具有频率分析的性质，又 能表示发生的时间。有利于分析确定时 间发生的现象（傅里叶变换只具有频率 分析的性质）
短时傅立叶分析（STFT）
∫ STFT (s,ω) = +∞x(t)g(t − s)e− jωtdt −∞
短时傅立叶分析
标准正弦函数 f(S1) 脉冲函数 f(S2) 加窗正弦波函数 f(S3) 频率按线性递增的加窗正弦波函数 (“chirp”信号) f(S4)
小波变换
为对特定时间区域内的信号进行分析， 我们必须给定一个分析窗口，比如采用 一个Gaussian窗口。但是，如果给定某 个固定分析窗口后，会存在一个基本的 矛盾：如果要追求频率分辨率则时域窗 口应该大，频率窗口小；反之，频域窗 口大，时域窗口小。对快变和慢变信号 分析窗口要求是不一样的。如何解决这 个问题？
JPEG2000简介
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JPEG2000简介
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Food (original image)
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JPEG2000简介
平稳信号与瞬变信号
所谓平稳信号（stationary signal）是指 信号的统计特性不随时间变化的信号。
非平稳信号（non-stationary sigal）则是 信号统计特性随时间变化的信号。
平稳信号与瞬变信号
50,200,500Hz正弦信号合成
平稳信号与瞬变信号
傅立叶变换
∫ f (t) = +∞F (ω)e jωtdω −∞
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City Space (original image)
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小波变换的多分辨率特性，有利于各分 辨率中不同特征的提取（图象压缩，边 缘抽取，噪声过滤等）
小波变换举例
小波变换举例
小波变换举例
小波的成就
小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的 完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和 分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间 等）。
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在 计算机应用、信号处理、图象分析、非线性 科学、地球科学和应用技术等已有重大突 破，预示着小波分析进一步热潮的到来。
小波变换
小波分解和重构可以看成信号滤波
小波变换
小波分解和重构可以看成信号滤波
小波变换
小波变换
小波变换
二维小波变换
小波变换
小波变换的应用
小波变换在数学、物理、信号处理、人 工智能、计算机图象处理、计算机图形 学、生物信号处理、模式识别、计算机 视觉、非线性科学、地球科学等二十多 个领域有广泛应用。
小波函数会是什么样子？
都是低通滤波 器函数！
小波特性：小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的
变化。
时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变 化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频 率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。
我们常常碰到同时需要知道频域信息和时间域信息的情况
人听声音的过程实际上就是一个时频分析的过程； 对某一段随时间变化的音频的识别，就是分析局部频率分布特性； 对图象的分割也是一种对信号局部频率分布的分析。
在整个时间域中进行傅立叶变换操作，我们不能获得随时间变化 的局部频率特性。傅立叶分析假设信号在全局的分布是统计不变 的，它需要时域信息的全体来获得频率信息的分布。
大的小波系数比小的小波系数更加重要。
EZW图象编码
零树：一棵零树是一个四叉树，它的所 有子结点的数值小于或等于根节点。
JPEG2000简介
JPEG2000的新特性：
超低码率传输 连续色调图象和二值图象压缩的统一编码 有损和无损压缩的统一编码 保真度/分辨率渐进传输 随机码流存取和处理 容错能力 开放结构
EZW image coding
EZW算法基于两个重要的事实：
自然图象一般具有低频特性。一般图象经过小波分 解以后，能量在不同子带中的分布随着尺度的减小 而减少（小的尺度意味着高的分辨率）,因此平均来 看，高的子代中的小波系数要小于低子代的小波系 数。从这个角度看，渐进传输编码是小波图象编码 的一种自然选择，因为高的子带会逐步增加图象的 细节。