模糊数学的基础知识

二、映射
1、映射 f ： X Y
2、集合A的特征函数：
特征函数满足（证明）
1, x A ; A ( x) 0, x A.
取大运算, 如 2∨ 3 = 3
A B ( x) A ( x) B ( x); A B ( x) A ( x) B ( x); A ( x) 1 A ( x).
分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集. 集合的直积： X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
（一）经典集合
一、经典集合的性质
确定性；无重复性；互异性
集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB. （3）图示法
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).
2014数学模型培训第一讲
模糊数学模型
指导老师: 宋荣荣 日 期：5.11
数学建模的简要介绍
一、什么是数学建模？
根据背景知识（已知条件）和查找资料，选 择正确的方法建立模型，通过计算机编程计算模型 的结果，利用结果回答要解决的问题。
二、两个重要的比赛
1、全国数学建模比赛 官方网站 http://www.shumo.com/home/ 2、美国数学建模比赛 官方网站 http://www.comap.com/undergraduate/co ntests
设R为 X = {x1, x2, … , xn} 上的关系，则其关 系矩阵R = (rij)n×n 为 n 阶方阵.
(1) R具有自反性 I ≤R； (2) R具有对称性 RT = R ； (3) R具有传递性 R2≤R . 若R具有自反性，则
I ≤R ≤R2 ≤R3 ≤„
关系合成的矩阵表示法
A≤B aij≤bij .
集合上的等价关系 设 X 上的关系R具有自反性、对称性、传递 性，则称R为 X 上的等价关系. 若x与y 有等价关系R，则记为 x y. 集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系，xX. 定义x的等价 类： [x]R = { y | yX ， y x }.
0 0 R1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 R2 0 1 0 0 0 1
合成(° )运算的性质： 性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3： A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C ) ； ( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A ) ； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I =A； 性质5：A≤B，C≤D A ° C ≤B ° D. 其中O为零矩阵，I 为 n 阶单位方阵.
• 课堂主要内容 一、基本概念 模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵 二、主要应用 1. 模糊聚类分析（模糊关系）——对所研究的事物按 一定标准进行分类 例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以
及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性
状，对土壤进行分类。
2.模糊识别（贴近度）——已知某类事物的若干标准 模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类 模型。
其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2={(x, y) | x + z = 5} = {(2,3), (3,2), (4,1)}.
关系的三大特性：
设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关系R， 即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y，若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z，若x 与 y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R， 即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么 称关系R具有传递性.
关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}，R为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系三大特性的矩阵表示法：
4.模糊线性规划（普通线性规划）——将线性规划的约束
条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线 性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解
5.模糊系统控制（模糊规则）——模糊系统是一种基于 知识或基于规则的系统。它的核心就是由所谓的IF— THEN规则所组成的控制器。一个IF—THEN规则就是 一个用连续的隶属度函数对所描述的某些句子所做的 ＩＦ—ＴＨＥＮ形式的陈述。
例如：苹果分级问题 苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。
3.模糊决策(权重)——把事物按照优劣进行排序，或者选出
“令人满意的最佳事物”。
例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面 给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集) ，在U上定义两个模糊集： A =―商品质量好 ”， B =―商品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=―商品质量不好”, Bc=―商品质量不坏” Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
三、参加数学建模的意义
1、提高学生的综合能力 分析和解决复杂问题的能力、 查找资料的能力、 合作的能力、 吃苦耐劳的能力、 写作的能力、 领导的能力、 协调的能力、 科研能力
2、给学生带来很多荣誉 加分、 保研、 发奖金、 出国留学
第1章
模糊数学的基本概念
生活中的现象
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等 等。
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成：
R1 ° R2 = (cij)m×n，
并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
模糊集的运算律 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
二、模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
相似关系
设 X 上的关系R具有自反性、对称性，则称R为 X 上的相似关系. 集合上的相似类
设 R是X 上的相似关系，若C X，任取x，yC，
有 x Ry则称C是由相似关系R产生的相似类，记为
[x] R .
（二源自文库模糊集合
一、模糊集合的定义 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最 具模糊性.
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x) 可定义为
x 140 A( x) 190 140
x 100 A( x) 200 100
模糊数学产生的必然性
确定性的知识无法解决模糊现象。 1、多少粒种子是一堆? 2、秃子问题：所有人都是秃头。
•模糊数学的创始人
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•模糊数学的基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
c
取大运算, 如 2∧ 3 = 2
三、二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关 系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1 ； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.