2019-2020学年湖北省武汉市江汉区八年级(上)期末数学试卷含解析

2019-2020学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答题卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）用科学记数法表示数0.000012，正确的是（）
A．12×104B．1.2×105C．12×10﹣4 D．1.2×10﹣5
3．（3分）如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点C'的位置，若BC'平分∠ABD，则∠DBC 的度数是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
4．（3分）下列分式中，x取任意实数都有意义的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（）
A．B．a﹣2•a﹣3＝x6
C．（a﹣3）2＝a6D．a3•a﹣3＝0
6．（3分）如图，AB＝AC，DB＝DC，则下列结论不一定成立的是（）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠ACD
7．（3分）甲、乙两人做某种机械零件，已知两人一天共做140个零件，甲做360个零件所用的时间与乙做480
个零件所用的时间相同，若设甲每天做x个零件，则可列方程（）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，进行如下操作：
①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
②作直线MN，交线段AC于点D；
③连接BD．则下列结论正确的是（）
A．BD平分∠ABC B．BD⊥AC C．AD＝CD D．△ABD≌△CBD
9．（3分）下列分式中，把x、y的值同时扩大2倍后，结果也扩大为原来的2倍的是（）A．B．C．D．
10．（3分）式子的值不可能为（）
A．﹣3B．0C．1D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置．
11．（3分）分式，的最简公分母是．
12．（3分）若分式的值为正数，则x的取值范围为．
13．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是．
14．（3分）已知△ABC的面积为S，BC的长为a，AD为BC边上的高，则AD的长度用含S，a的式子表示为．
15．（3分）如图，在△ABC中，若BC＝6cm，AC＝4cm，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，则△ADC的周长是．
16．（3分）如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若AB＝5，BC＝8，CA＝7，则△AMN的周长为．
三、解答题（共5小题．第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）因式分解：
（1）ax2+2ax+a；
（2）a4﹣16．
18．（10分）解方程：
（1）＝；
（2）+1＝．
19．（10分）如图，D为∠ACB平分线上一点，DE⊥CA于E，DF⊥CB于F．试探究CD与EF的位置关系，并证明你的结论．
20．（10分）（1）计算：；
（2）若x为整数，且0≤x≤4，求（1）中式子的值．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（2，2），B（5，3），C（3，5）．（1）请作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A的对称点A1的坐标；
（2）点M是第一象限内一点（不与点A重合），且M点的横、纵坐标都为整数．
①若MB＝MC，请直接写出一个满足条件的M点的坐标；
②若MA＝MC，请直接写出一个满足条件的M点的坐标；
（3）将△A1B1C1向右平移n个单位长度得到△A2B2C2，若△ABC与△A2B2C2关于某条直线l对称，则直线l与x轴交点的横坐标为（用含n的式子表示）．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置．
22．（4分）如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，过点F 作FH⊥AB于H，则的值为．
23．（4分）关于x的方程+t＝无解，则t＝．
24．（4分）已知分式化简后的结果是一个整式，则常数a＝．
25．（4分）如图，∠MON＝15°，四边形ABCD的顶点A在∠MON的内部，B，C两点在OM上（C在B，O之间），且BC＝1，点D在ON上，若当CD⊥OM时，四边形ABCD的周长最小，则此时AD的长度是．
五、解答题（共3小题．第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指
定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“复兴号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．两辆赛车从距离终点75米的某地同时出发，“复兴号”比“和谐号”早t秒到达终点，且“复兴号”的平均速度是“和谐号”的m倍．
（1）当m＝1.2，t＝5时，求“复兴号”的平均速度是多少米/秒？
（2）“和谐号”的平均速度为米/秒（用含m、t的式子表示）．
27．（12分）已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF．
（1）如图1，若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；
（2）如图2，在（1）的条件下，若∠DFC＝45°，连接AD，求证：BE+CF＝AD；
（3）如图3，若BE＝CD，连CF，当CF取最小值时，直接写出的值．
28．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n），B（n，m）与坐标原点O在同一直线上，且AO＝BO，其中m，n满足m2+2mn+2n2﹣2n+1＝0．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且P A＝PN，P A⊥PN，MB＝MN，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使CE＝CB，连结BE交AD于点F，恰好有AF+AE＝2，点G是CB上一点，且CG＝1，连结FG，求证：EF＝FG．
2019-2020学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答题卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．【解答】解：用科学记数法表示数0.000012，正确的是1.2×10﹣5．
故选：D．
3．【解答】解：根据折叠可知：∠C′BD＝∠CBD，
∵BC'平分∠ABD，
∴∠ABC′＝∠C′′BD，
∴∠ABC＝∠C′BD＝∠CBD
＝ABC
＝90°
＝30°．
故选：B．
4．【解答】解：A、当x＝﹣2时，分式无意义，故此选项错误；
B、当x＝2时，分式无意义，故此选项错误；
C、当x＝±时，分式无意义，故此选项错误；
D、x取任意实数都有意义，故此选项正确；
故选：D．
5．【解答】解：A.，正确，故本选项符合题意；
B．a﹣2•a﹣3＝a﹣5，故本选项不合题意；
C．（a﹣3）2＝a﹣6，故本选项不合题意；
D．a3•a﹣3＝1，故本选项不合题意．
6．【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，
由条件无法证明AD＝BC，
故选：C．
7．【解答】解：设甲每天做x个零件，
则可列方程：＝．
故选：A．
8．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AD＝CD．
故选：C．
9．【解答】解：解：A．＝×，不符合题意；
B．＝，不符合题意；
C．＝2×，符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：C．
10．【解答】解：＝
当a＝b＝c＝0时，＝0，
而abc≠0，
∴不能等于0，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指
11．【解答】解：故答案为：12x2y3
12．【解答】解：∵分式的值为正数，x2＞0，
∴x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案是：x＞2．
13．【解答】解：由题意知，分两种情况：
（1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．
故答案为：50°或80°．
14．【解答】解：设AD的长为x
则S＝，得x＝
故答案为．
15．【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴BD＝AD，
∴BC＝BD+DC＝AD+DC＝6cm，
∴△ADC的周长＝AD+DC+AC＝BC+AC＝6+4＝10cm，
故答案为：10cm．
16．【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴OM＝BM，
同理CN＝NO，
∴BM+CN＝MN，
∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝5+7＝12，
故答案为：12．
三、解答题（共5小题．第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指
定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．【解答】解：（1）原式＝a（x2+2x+1）＝a（x+1）2；
（2）原式＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）．
18．【解答】解：（1）去分母得：4x+2＝4，
解得：x＝，
经检验x＝是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
19．【解答】解：CD垂直平分EF．理由如下：
D为∠ACB平分线上一点，DE⊥CA于E，DF⊥CB于F，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF，
又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF（到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上）．20．【解答】解：（1）原式＝[﹣]•
＝•
＝；
（2）∵x为整数，且0≤x≤4，x＝0，x＝2时无意义，
∴x＝3时，
原式＝1．
21．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣2，2）；
（2）①若MB＝MC，则M点的坐标为（1，1）（答案不唯一）；
②若MA＝MC，则M点的坐标为（1，4）（答案不唯一）；
（3）若△ABC与△A2B2C2关于某条直线l对称，则直线l与x轴交点的横坐标为n，
故答案为：n．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置．
22．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，
∴∠AFD＝∠BDE＝∠FEC＝90°，
∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，
在△ADF和△BED和△CFE中，，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE，AF＝CE，
∵FH⊥AB，∠A＝60°，
∴∠AFH＝30°，
设AH＝x，则AF＝CE＝2x，
∵∠ADF＝30°，
∴AD＝2AF＝4x，
∴BC＝BE+CE＝AD+CE＝4x+2x＝6x，
∴＝＝，
故答案为：．
23．【解答】解：∵+t＝，
∴＝，
∴﹣tx+t（3﹣x）＝2，
解得x＝1.5﹣
∵关于x的方程+t＝无解，
∴1.5﹣＝3，
解得t＝﹣．
故答案为：﹣．
24．【解答】解：∵分式化简后的结果是一个整式，
∴当a＝±时，原式＝＝x﹣2．
故答案为：±．
25．【解答】解：如图1中，分别作点A关于直线OM，ON的对称点A1，A2，连接BA1，DA2，过点A1作A1A3⊥CD于A3，
由图可知：AQ＝A1Q＝A3C，AB＞AQ，当A，B，A1共线时，AB最短，此时A3C＝AB，
∵四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝A3C+CD+DA2+BC＝A3C+CD+DA2+1，
∴当A3，C，D，A2共线时，四边形ABCD的周长最短（如图2中），作AH⊥CD于H．
∵∠MON＝15°，CD⊥OM，
∴∠ODC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠FDA2＝∠ODC＝∠ADF＝75°，
∴∠ADH＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
在Rt△ADH中，AD＝＝＝2．
故答案为2．
五、解答题（共3小题．第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．【解答】解：设“和谐号”的速度为v米/秒，则，“复兴号”的速度为vm米/秒，“和谐号”的时间为y秒，则，“复兴号”的速度为（y﹣t）秒，
由题意可得，vy＝vm（y﹣t），
∴y＝，
∴“和谐号”的时间为秒，则，“复兴号”的时间为秒，
∴“和谐号”的速度为米/秒，则，“复兴号”的速度为米/秒，
（1）当m＝1.2，t＝5时，“复兴号”的速度为3米/秒；
（2）“和谐号”的速度为米/秒，
故答案为．
27．【解答】（1）证明：如图1中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，DE＝DF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DM＝DN，
∵∠DBM＝∠C＝60°，∠∠DNC＝90°，
∴△DMB≌△DNC（AAS），
∴DB＝DC，
∴点D是BC的中点．
（2）证明：如图2中，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵△DMB≌△DNC，
∵△DMB≌△DNF，
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BE+CN+FN＝BE+BM+EM＝2EM＝2FN，
∵∠DFN＝45°，∠DNF＝90°，
∴DN＝FN，
∵BD＝CD，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠DAN＝∠BAC＝30°，
∴AD＝2DN＝2FN＝BE+CF．
（3）解：如图3中，连接AF，AD，延长CB到M，使得BM＝BE，作AN⊥BC于N．
∵∠ABC＝∠MBE＝60°，BM＝BE，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠M＝∠ACD＝60°，EM＝BE＝CD，
∴DM＝BC＝AC，
∴△MDE≌△CAD（SAS），
∴DE＝DA＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DF A，
∵∠EDF＝120°，
∴2∠DAE+2∠DAF＝240°，
∴∠DAE+∠DAF＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠F AC＝∠ACB＝60°，
根据垂线段最短可知，当CF⊥AF时，CF的值最小，
∵AN⊥BC，CF⊥BC，
∴AN＝CF，BN＝CN，
∵DA＝DF，∠AND＝∠FCD＝90°，
∴Rt△AND≌△FCD（HL），
∴DN＝DC，
∴BD＝3CD，
∴＝3．
28．【解答】解：（1）∵m2+2mn+2n2﹣2n+1＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1＝0，
∴（m+n）2+（n﹣1）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣1＝0，
∴n＝1，m＝﹣1，
∴A（﹣1，1），B（1，﹣1）；
（2）如图1，在x轴负半轴上取点Q，使OQ＝OM，连接QA，QP，QM，∵AO＝BO，∠AOQ＝∠BOM，
∴△AOQ≌△BOM（SAS），
∴∠AQO＝∠BMO，
∴AQ＝BM＝MN，
又∵OQ＝OM，PO⊥QM，
∴PQ＝PM，
又∵P A＝PN，
∴△PQA≌△PMN（SSS），
∴∠QP A＝∠MPN，∠PQA＝∠PMN，
∴∠QP A+∠APM＝∠MPN+∠APM＝90°，
∴△QPM为等腰直角三角形，
∴∠PMQ＝∠PQM＝45°，
∵∠PQA＝∠NMP，∠AQO＝∠OMB，
∴∠PQA+∠AQO＝∠NMP+∠OMB＝∠PQM＝45°，
∴∠NMP+∠OMB+∠QMP＝90°，
∴BM⊥MN；
（3）证明：如图2，过点B作BH⊥AF交AF延长线于点H，连接EH，∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（1，﹣1），
∴H（﹣1，1），
∴AF+AE＝2，AF+FH＝2，
又∵CG＝1，
∴AE＝FH＝BG，AH＝BH＝2，
∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH，
∴∠FHB＝∠EAH，
∴△EAH≌△FHB（SAS），
∴EH＝FB，∠EHA＝∠FBH，
∵AE＝BG，AC＝CG，
∴CE＝CB，
∴∠CEB＝∠CBE，
又∵∠HBE＝∠CEB，
∴∠HBE＝∠EBC，
∴∠FBG＝∠EHF，
在△EFH与△FBG中，
EH＝FB，∠EHF＝∠FBG，FH＝BG，
∴△EFH≌△FBG（SAS），
∴EF＝FG．。