混沌硕士第1章

第一章绪论

§1.1 混沌学的创立与发展历程

混沌学的创立是科学研究的重要事件之一，它揭示了许多随机现象与其内在决定性之间的联系。至今为止，已经在物理、数学、生物、化学、天文学、经济学等各种科学领域都发现了混沌现象的存在，使得混沌学得到了越来越广泛的应用，被誉为二十世纪继相对论和量子论之后的三大科学发现之一[1]。

混沌是指在确定性非线性系统中，即使没有任何外部的随机因素，也会出现随机的行为，是一种内在随机性。混沌系统的最大特点是对系统的初始条件极端敏感，由此导致了混沌是长期不可预测的[2,3]。

十九世纪末，法国伟大的天文学家、数学家H.poincare在研究三体问题时首次发现了混沌。他发现三体问题与单体问题、二体问题不同。三体的引力相互作用会产生惊人的复杂行为。于是在1903年，H.poincare在他的<<科学与方法>>一书中提出了poincare猜想:在三体问题中[4],在一定范围内其解是随机的。实际上这是一种保守系统的混沌现象。H.poincare从而成为发现混沌的第一人。

自H.poincare之后，又有一大批数学家和物理学家在各自的领域进行了探索，为混沌学的研究积累了大量数学方法和知识。到了20世纪30年代，由前苏联概率论大师A.H.kolmogorov提出，莫斯科大学的学者B.N.Aphojip和纽约大学库朗数学研究所J.Moser独立证明的KAM定理[4,5]（以三人名字的首字母命名）是对不可积哈密顿系统渐近动力学行为研究的一个重大突破。由此表明了不仅耗散系统存在混沌，保守系统也存在混沌。

真正使混沌得到普遍注意的是美国气象学家E.Lorenz的研究工作。E.Lorenz 在研究天气预测时，建立了一个有10多个变量的气象预测的数学模型，经过简化后只保留了三个主要变量——风速、气压、温度。在用计算机进行数值运时，因为当时不具备高速计算机，为了加速运算过程，E.Lorenz只保留了小数点后三位而不是原来的六位有效数字。令他吃惊的是新的天气预测和原来保留小点后六位有效数字的计算结果几乎没有什么相似之处。经过不懈地努力，E.Lorenz 终于明白了在他的确定的气象预测的数学模型中存在混沌现象，并具有对初始

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条件极为敏感的这一混沌的基本特征。后来E.Lorenz把混沌系统对其初始条件的极端敏感性称为蝴蝶效应[2]。

E.Lorenz对混沌现象的新发现，大大激发了科学家们对混沌研究的兴趣，从而对混沌的机理、现象和控制作了大量的研究。1975年，在美国马里兰大学攻读博士学位的华人学者李天岩和他的导师J.Jorke联名发表了一篇震动整个非线性理论学术界的论文《周期3蕴含着混沌》，首先引入混沌（Chaos）[6]一词，为这一新兴的研究领域确立了一个中心概念，从此混沌的研究进入了灿烂的年代，得到了国际上大量学者的注意。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。

随着人们对混沌深入广泛的研究，促使人们产生了控制和利用混沌的思想。1990年，Ott. Grenbogi和Yoke基于无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实，提出了一种控制混沌的OGY方法[7]，通过连续对系统的参数施加延时小扰动，使在无穷多不稳定周期轨道中所期望的那个不稳定的周期轨道稳定化，达到控制混沌的目的。同年，美国海军实验室的学者T.L.Carroll和

L.M.Recora发表了运动轨道同步化的论文，提出了混沌自同步方案——驱动响应同步法[8]，为混沌在保密通信、神经网络等领域的应用展现了美好的前景。

混沌是一种纵横交错、非常复杂的现象。大自然就是一个巨大的混沌系统。福特（J.Ford）针对爱因斯坦的名言“我不相信有掷骰子的上帝”说道：“上帝的确在掷骰子，不过骰子是灌了铅的。科学的任务就是确定自然之骰子的非均匀性，弄清它是按照何种规则被灌铅的。”我们相信，对混沌学的进一步研究，必将使我们加深对大自然深刻的理解,弄清楚可观世界是按什么规则来被“灌铅”的。

§1.2混沌的基本特征与保密通信

由于混沌现象广泛存在物理、数学、生物等许多科学领域，而各个领域的混沌现象千差万别，很难得到一个统一的混沌的定义。其中影响比较大，被普遍接受的是李天岩和他的导师在《周期3蕴含混沌》中提出的数学定义，称之为Li—Yorke定义[9]：

定义1令f(x)为区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件：

（1）f具有任意正整数周期的周期点；

２

３

（2）存在I 的不可数子集S ，使对任意S y x ∈,, y x ≠有

0)()(s u p l i m >-∞

→y f x f n n n (1－1) 0)()(i n f lim =-∞→y f x f n n n (1－2)

（3）对每一S x ∈和周期点y ，有 0)()(s u p l i m >-∞

→y f x f n n n (1－3) 则称f(x)为混沌的。

在此定义中：第一个条件表明混沌系统存在所有阶的周期轨道；第二个条件说明子集的点s y x ∈,相当分散又相当集中；第三个条件说明子集不会趋近于任何周期点。

1989年，Devanney.RL 给出了混沌的另一种定义[10]：

定义2 设U 为一集合。U U f →:称为在U 上是混沌的，如果

1．f 有对初始条件的敏感依赖性。

2．f 是拓扑传递的。

3．周期点在U 中稠密。

一般来说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分。因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的。因为拓扑传递性，它不能被细分或不能被分解为两个在f 下不相互影响的子系统(两个不变的开子集合)。然而，在这混乱性态当中，毕竟有规律性的成分，即稠密的周期点。

一般来说，混沌是指在确定性的非线性系统中所出现的非常复杂、具有随机的特点的非周期运动形式。混沌的主要特征有[2,5,11,12]：

1． 对初始条件极为敏感，即所谓的蝴蝶效应。即使两个完全相同的混沌系统，

初始条件的微小差别，将最终导致根本完全不同的现象。也就是说，初始的信息经过混沌系统的若干次演化后，已经消耗殆尽，结果已与初始值没有关系了。值得注意的是，这种性质决不是计算误差等外部随机因素造成的，而是非线性系统完全决定的，是一种内随机性。

2． 具有伸长和折叠性质。这个性质是蝴蝶效应的主要机制。伸长是指系统内

部的局部不稳定性所引起的点之间距离的扩大。折叠是指系统整体稳定所形成的点之间的距离的限制。经过多次的拉伸和折叠，轨道被搅乱，形成了混沌。Smale 的马蹄映射形象具体的阐述了混沌的这个特性。