北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】七年级数学上册 第二章 4有理数的加法

4 有理数的加法

1．有理数的加法法则 (1)有理数的加法：把两个或几个有理数合成一个有理数的运算．

(2)两个有理数相加的几种情况：

①正数＋正数，如(＋2)＋(＋4)；

②负数＋负数，如(－3)＋(－6)； ③正数＋负数或负数＋正数，如(＋2)＋(－3)或(－6)＋(＋4)； ④正数＋0；⑤负数＋0；⑥两个加数都为0.

(3)有理数的加法法则

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数．

【例1】 下列计算正确的个数是( )．

①(－5)＋(－5)＝0；②(－6)＋(＋4)＝－10；③0＋(－2)＝－2；④⎝⎛⎭⎫＋56＋⎝⎛⎭⎫－16＝23

；⑤23＋⎝

⎛⎭⎫－723＝－7. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析：①误将(－5)＋(－5)当成了两个互为相反数的和，②(－6)＋(＋4)＝－(|6|－|4|)＝－2，所以①②错误；根据有理数的加法法则可知，③④⑤正确．故选D. 答案：D

2．有理数的加法运算律

(1)加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .

(2)加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．

①交换加数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a ，b ，c 可以是正数，也可以是负数或0.

【例2】 下列运算中运用的运算律是( )．

(＋18)＋(－7)＋2＋(－3)

＝＋．

A ．加法交换律

B ．加法结合律

C ．加法交换律和结合律

D ．以上答案都不对

解析：－7与2交换位置，运用了加法的交换律；而＋18与2相加，－7与－3相加运用了加法结合律，故本题同时运用了加法交换律和结合律．

答案：C

3．有理数的加法运算

(1)有理数加法的运算方法

有理数的加法运算可以概括为“一定、二求、三和差”．

①定：先判断两个加数的符号，并确定出和的符号；

②求：求加数的绝对值；

③和差：确定是绝对值相加还是相减．

(2)加法运算法则的符号表示

同号两数相加：

①a >0，b >0，a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)．

②a <0，b <0，a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．

异号两数相加(a >0，b <0)：

①|a |>|b |，a ＋b ＝＋(|a |－|b |)．

②|a |＝|b |，a ＋b ＝0. ③|a |<|b |，a ＋b ＝－(|b |－|a |)．

一个数与0相加：a ＋0＝0.

析规律 有理数加法口诀 同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑，绝对值相等“零”正好；数零相加变不了．其中“大”、“小”指两个数绝对值的大小． 【例3】 计算：

(1)⎝⎛⎭⎫＋23＋⎝⎛⎭⎫－34；(2)⎝⎛⎭⎫－514＋(－3.5)； (3)(－16)＋16；(4)(－8)＋0.

分析：进行有理数的加法时，要先看类型，再运算．类型有三种：一是同号两数相加；二是异号两数相加；三是与0相加．(1)是异号两数相加；(2)是同号两数相加；(3)是互为相反数相加；(4)是一个数与0相加．

解：(1)⎝⎛⎭⎫＋23＋⎝⎛⎭

⎫－34(异号两数相加) ＝－⎝⎛⎭

⎫34－23(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值) ＝－112

； (2)⎝⎛⎭

⎫－514＋(－3.5)(同号两数相加) ＝－⎝⎛⎭

⎫514＋3.5(取相同的符号，并把绝对值相加) ＝－834

； (3)(－16)＋16(互为相反数的两数相加)

＝0；(和为0)

(4)(－8)＋0(一个数与0相加)

＝－8.(仍得这个数)

4.运用有理数加法运算律进行简便运算

(1)灵活运用运算律，能使运算简便，一般具有下列特点的数可以先结合：①互为相反数的两数可以先相加；

②同号的数可以先相加；

③分母相同的分数可以先相加；

④相加能凑整或凑零的数可以先相加．

(2)有理数的简化运算的具体情况：①几个正、负数相加：先把正数和负数分别相加，再将所得的和相加；

②凑整：把两个或几个加数结合在一起凑为整数，再相加；

③凑零：把两个或几个加数结合在一起凑为零，再相加；

④几个分数相加：先把分母相同的分数相加；

⑤小数相加：可以把整数部分和小数部分分别结合，再相加；

⑥带分数相加：可以把整数部分和真分数部分分别结合，再相加．

【例4－1】 用简便方法计算：

⎝⎛⎭⎫＋635＋⎝⎛⎭⎫－523＋⎝⎛⎭⎫＋425＋⎝⎛⎭

⎫－113. 分析：本题是多个有理数的加法，可利用加法的交换律、结合律进行简便计算，先把同分母的两个数(正数与正数、负数与负数)相加．

解：⎝⎛⎭⎫＋635＋⎝⎛⎭⎫－523＋⎝⎛⎭⎫＋425＋⎝⎛⎭

⎫－113 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋635＋⎝⎛⎭⎫＋425＋⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫－523＋⎝⎛⎭⎫－113 ＝11＋(－7)

＝4.

【例4－2】 计算：

(－1)＋(＋2)＋(－3)＋(＋4)＋…＋(－2 013)＋(＋2 014)．

分析：本题相邻数的符号不同，且绝对值逐个增加1，而前两个数相加为1，第3个与第4个相加也为1，则可从第1个数开始，每两个数为一组，则共有1 007组，每组的和都是1.

解：(－1)＋(＋2)＋(－3)＋(＋4)＋…＋(－2 013)＋(＋2 014)＝＋＋…＋＝10071

111++⋯+个＝1 007.

5．有理数的加法与数轴、绝对值的综合应用

(1)数轴与有理数加法的综合

利用数轴可以得到数轴上所表示的数或字母的正负性及绝对值的大小，在进行有关数或字母的加法计算时，可结合有理数的加法法则进行正确的计算．

(2)与绝对值、相反数有关的加法

①根据绝对值求出符合条件的有理数，再求和．

②含有绝对值号或求相反数的有理数加法，一般先化简绝对值和求相反数，再按有理数的加法法则计算．

【例5－1】 如图，数轴上A ，B 两点所表示的有理数的和是__________．

解析：先从数轴上读数，再进行有理数的加法运算．由数轴可知，点A 表示－3，点B 表示2，所以(－3)＋2＝－1.

答案：－1

【例5－2】 已知a 的相反数是2，|b |＝3，则a ＋b ＝__________.

解析：先确定a 和b 的值，再按有理数的加法计算．因为2的相反数是－2，所以a ＝－2；因为|b |＝3，所以b ＝3，或b ＝－3，所以a ＋b ＝(－2)＋3＝1，或a ＋b ＝(－2)＋(－3)＝－5.

答案：1或－5