第六讲 成本函数(中级微观经济学-复旦大学,张军)

E
c y

1 E 1

短期成本

下面考虑短期的情形。与长期相比，短期成本 问题的决策问题的最大化模型多了一个投入要 素数量的约束。以两种投入要素情形为例：
min p1 x1 p2 x2
s.t.
f x1 , x2 y0
0 2
x2 x
x1 0, x2 0

在没有 x2 x 限制情形下，均衡解时满 p p * 0 足 f ，若 x x 2 2 ，则最优化问题与长 f * 0 f 2 由具有递减性 期相等；若 x2 x2 ，因为 p p * 质， f2 x2 f2 x20 ，故 f x f x ，则
应用问题

关于成本函数的形状 成本函数的经验估计
p1 p2 f1 f2

一般情形的拉格朗日方法
min
s.t.
p1 x1 ++pn xn
f x1 ,…,xn y0
பைடு நூலகம்
xi 0, i 1,…,n
L= pi xi y0 f x1 ,,xn
L pi fi 0 i 1,…,n xi
中级微观经济学
张军
第 6讲 成本函数
成本的定义

机会成本 经济成本与会计成本
长期成本

先考虑长期的情形，即无投入限制的成本最小 化问题，以二种投入为例：
min
s.t.
p1 x1 p2 x2
f x1 , x2 y0
x1 , x2 0

我们用无差异曲线表示 f x1, x2 y0 ，即等产量 线。 C p1x1 p2 x2 为支出（成本）线。则最大化 问题与我们在分析一定效用水平下支出最小化 问题完全相同。可以得到均衡解的一阶条件：
0 2
1 2 1 2
2
2
2
* 2
2
0 2
p2 p1 0 f 2 x2 f1

由于 x2 x 限制，厂商只有通过多使 用边际成本更高的要素1来替代要素2， 从而使得总成本上升。见下图。
0 2

故我们有这样的结论：只有当投入要素的约束 恰好不受限制时，短期成本与长期成本相等， 否则短期成本大于长期成本。由此，我们可以 将长期情形理解为厂商对受约束的投入不断调 整，直至约束放松为止。这样就推出结论：厂 商的长期成本曲线是短期成本曲线的包络线。
xi* xi p1 ,…,pn , y0 xi p, y0
i 1,,n

代入成本后为：
C pi xi* pi xi p, y0 C p, y0


成本函数与支出函数有相同的性质： a） C p, y0 是 p, y0 的增函数 b） C p, y0 是价格p的线性齐次函数，即 C sp, y0 sC p, y0 c） C p, y0 是p 的凹函数 d） C p, y0 xi p, y0
pi

另外，我们可以用产出的成本弹性
d ln C p, y0 y0 LMC E C y p, y0 d ln y0 C p, y0 LAC
c y
表示产出的变化对总成本的影响。显然这与规 模经济、规模报酬联系在一起的。如果成本对 产出变化的反应小于1，即成本较产出上升较 小，即表明扩大生产是有利的，是规模报酬递 增的。两者的关系是
L y0 f x1 ,…,xn 0
得一阶条件
pi p j i, j 1,…,n,i j fi fj

由拉格朗日乘子的含义
C = LMC y0

类似于一定效用水平下的支出最小化问题，上 述生产成本问题也可定义类似的希克斯需求函 数，支出函数。称下式为条件投入需求函数