求“点面距离”常用的几种基本方法

+ y2
= 1，
12k2
+ 3）
x2
+ 16
槡3 kx
+4
= 0．
因此，
( x1
+ x2
=
－
16 槡3k 12k2 + 3
，x1
·
x2
=
4 12k2
． +3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又 Q→M
=
0，m －
) ( ) 2 槡3 3
，Q→O =
0，－
2
槡3 3
，由 Q→M
=
λ
Q→O，得
m
=
2 槡3 3
－
2
槡3 3
λ．
同 理，由 Q→N
=
μ
Q→N，得
n
=
2 槡3 3
－
2 槡3 3
μ，因
此，
( ) ( ) M
0，2
槡3 3
－
2
槡3 3
λ
，N
0，2 3槡3
－
2
槡3 3
μ
．
又
P，A，M
三点共
线，则
kPA
=
kPM
，即
槡3 2
－
y1
1 － x1
=
槡3 2
－
2 槡3 3
1－
+ 0
2
3槡3 λ，得
1 λ
=
4x1 － 4 ． 2 槡3kx1 + x1
（
x
－ 1 ） ，令
x
= 0，得
y
=
2
槡3 3
，所
以
( ) Q
0，2
槡3 3
． 设 A（ x1 ，y1 ） ，B（ x2 ，y2 ） ，M（ 0，m） ，N（ 0，n） ，因为
( ) 直线 l 过点 Q
0，2
槡3 3
，故设直线
l
解析式为
y
=
kx
+
2
槡3 3
，
{联立
y = kx + 2 3槡3，
得（
x2 4
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
将已知点作为 某 个 三 棱 锥 的 顶 点，在 已 知 平 面 上 取 一
个三角形作为棱 锥 的 底 面，先 求 出 此 三 棱 锥 的 体 积 和 底 面
积，再间接地求出棱锥的高，即点到平面的距离．
四、向量法
设点 P 是平面 α 内一点，η 是平
面 α 的一个法向量，如图 2 所示，则点
M 到平面 α 的距离：
图2
d
=
| MN |
=
|
η·P→M
|η|
|
．
下面通过具 体 的 例 子 来 研 究 求 解“点 面 距 离 ”的 基 本
AB平面 A1 ABB1
BF∩BC = B
} 平面
BCF⊥平面
A1 ABB1
交于
BF， CH
平面
A1 ABB1 ，所
过 C 作 CH⊥BF 于 H
以 CH 是 C 点到平面 A1 ABB1 的距离． 由 BF∥A1 E，OE∥BC，∠FBC = ∠A1 EO = 60°，BF =
A1 E = 2，因为 BC = 2，所以在 Ｒt△BCH 中，易得 CH = 槡3．
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
方法．
例 （ 1998 年全国高考试题） 如图 4（ a） 所示，已知斜三
棱 柱 ABC － A1 B1 C1 的 侧 面 A1 ACC1 与 底 面 ABC 垂 直，
∠ABC = 90°，BC = 2，AC = 2 槡3，且 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C． （ Ⅰ） 求侧棱 A1 A 与底面 ABC 所成角的大小； （ Ⅱ） 求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小； （ Ⅲ） 求顶点 C 到侧面 A1 ABB1 的距离． 解 （ Ⅰ） 如 图 3 所 示，过 A1 作 A1 O ⊥ AC 于 O，由 面
解题技巧与方法
138
JIETI JIQIAO YU FANGFA
求“点面距离”常用的几种基本方法
◎潘继军 （ 滇西科技师范学院数学学院，云南 临沧 677000）
【摘要 】本 文 结 合 高 考 题 研 究 了 求 解“点 到 平 面 的 距 离”的四种基本方法———直接法（ 也称定义法） 、转移法、等 体积法、空间向量法．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
（ 上接 137 页）
图3
( ) 证明 由椭圆 C 经过点 P 1，槡23 ，易求得 b = 1，故椭
圆 C：
x2 4
+ y2
= 1． 如图 3
所示，y =
槡4 －
2
x2
（
y≥0） ，得 y'
=
2
－ x ． 故椭圆在点 P 处的切线斜率 k =
槡4 － x2
－
槡3 6
，故切线方
程为
y
－
槡3 2
=
－
槡3 6
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
的距离
=2
倍 O 点到平面 A1 ABB1 的距离．
} AB⊥OE，
由 AB⊥A1 E， OE∩A1 E = E
} AB⊥平面 A1 OE，
又 AB平面 A1 ABB1
} 平面
过O
A1 OE⊥平面 A1 ABB1 作 OK⊥A1 E 于 K
交于
A1
E，
OK
⊥
平
面
A1 ABB1 ，
所以 OK 是 O 点到平面 A1 ABB1 的距离．
建立空间直角坐标系 O － xyz，则由
题意知 AC = 2 槡3，BC = 2，AB = 2 槡2，
图5
OA1 = 槡3，O 为 AC 中点，所以 A（ 0，2 槡2，0） ，C（ 2，0，0） ，O（ 1，
槡2，0） ，A1 （ 1，槡2，槡3） ，→ BA = （ 0，2 槡2，0） ，A→A1 = （ 1，－ 槡2，槡3） ， B→C = （ 2，0，0） ，
【关键词】点面距离； 基本方法
计算“点到平面的距离”是历年高考的热点和重点，下 面就以高考 试 题 为 例 探 求 求 解“点 到 平 面 的 距 离 ”的 基 本 方法．
一、直接法（ 也称定义法） 即直接找出 或 作 出“点 面 距 离 ”，按“一 找、二 证、三 计 算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一 垂线段． 二、转移法 转移法是指将此点到平面的距离转化为求另一点到该 平面的距离． 在直接法不易求解时，可考虑以下转移法： （ 1） “点 面 距 离、线 面 距 离、面 面 距 离 ”间 的 相 互 转 化———利用与平面平行的直线上各点到该平面的距离都相 等的性质进行转化； 或利用相互平行的两个平面，其中一个 面上的各点到另一个面的距离都相等的性质进行转化． （ 2） 如图 1（ a） 所示，线段 AB 上的一点 B∈α，Aα，M 是线段 AB 的中点，那么 A 点到平面 α 的距离 AO 是 M 点到 平面 α 的距离 MO1 的 2 倍，即 AO = 2MO1 ，这样就可以将 A 点到平面 α 的距离转化为求 M 点到平面 α 的距离（ 或者 反之） ．
i j k
所以
η
=
0
2 槡2
0
=
（
2
槡6，0，－ 2
槡2）
，
1 － 槡2 槡3
所以
d
=
| η·B→C |
|η|
=
4 槡6 槡32
= 槡3．
【参考文献】 ［1］杨天勇． 巧用向量求空间距离［J］． 数学学习与研 究，2009（ 11） ： 83． ［2］李云侠． 点到平面距离求解策略［J］． 高中数理化 （ 高二版） ，2008（ 12） ： 32．
同理可得
1 μ
=
4x2 － 4 ． 2 槡3kx2 + x2
因 此，1λ
+
1 μ
=
4x1 － 4
+
4x2 － 4
= 8x1 x2 － 4（ x1 + x2 ） =
2 槡3kx1 + x1
2 槡3kx2 + x2
（ 2 槡3k + 1） x1 x2
( ) 8· 12
4 k2
+
3
－
4·
－
16 槡3k 12k2 + 3
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
139
如图 4 所示，设 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为 h，即三棱
锥的高为 h，由 VC － A1AB
=
VA1
－ ABC
1 3
S△A1AB ·h =
1 3
S△ABC ·
A1
O
1 3
× 2 槡2·h =
1 3
× 2 槡2 × 槡3h = 槡3．
（
2
槡3k
+
1）
· 12
4 k2
+3
=
8，故
1 λ
+
1 μ
为定值．
【参考文献】 ［1］余小芬，刘成龙． 对 2016 年四川卷高考理科 10 题 的研究［J］． 中学数学研究（ 江西） ，2016（ 1） ： 12 － 16．
数学学习与研究 2019. 9
为 O 是 AC 的中点，BC = 2，AC = 2 槡3，所以 EO = 1，AO =
A1
O
=
槡3，tan∠A1
EO
=
A1 O EO
=
槡3，所以∠A1
EO
=
60 ° 为所求 二
面角的大小．
（ Ⅲ） 解法一（ 转移法） ： 如图 4 所示，
} A∈平面
由
A1
ABB1
， C
O 为 AC 中点
点到平面
A1 ABB1
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3．
解法四（ 空间向量法） ： 设 η 是平面 A1 ABB1 的一个法向
量，则点
C
到平面
A1 ABB1
的距离：
d
=
|
η·B→C
|η|
|
．
如图 5 所示，因为 OA1 ⊥平面 ABC， AB⊥BC，所以以 B 点为坐标原点，
过 B 点作 OA1 的 平 行 线 为 z 轴，以 BC，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴，