医学统计学 简单回归分析

10.1 什么是回归？
1. 线性回归分析 linear regression analysis
：研究一个变量和另外一些变量间线性数量关系的 统计分析方法。
简单线性回归 simple linear regression
：模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一
分
个变量随另一个变量的变化而变化，且呈直线变
类
化趋势，叫~。
多重线性回归 muptiple linear regression
：涉及多个变量（自变量、解释变量）时称~。
父亲和他儿子的身高：
调查了1087对父子：
1.父代的总均数=68英寸 子代的总均数=69英寸
2.高个子的父代：72英寸 而它子代：71英寸
矮个子的父代：64英寸 而它子代：67英寸
表11-1 14名健康中年妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kg/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
Yˆ a bx
➢ 称 Ｙˆ 为Y 的预测值；其意义为固定 x，Y 的
总体均数 μ Y∣X 的估计值。
➢ a与b分别为回归模型参数α和β的估计值。
以样本数据，可算出α和β的估计值a 和 b。后在 直角坐标系以X为横坐标，Y 为纵坐标作图，图 形是一条直线，斜率为b，截距为a。
5800
5300
基础代谢(kJ/d)
第十二章 简单回归分析
统计推断的两个主要内容：
参数估计和假设检验
t 检验 方差分析 卡方检验 秩和检验
指标变量之间关系 相关分析
回归分析
简单回归分析
1.1 线性回归的概念及其统计描述 1.2 线性回归模型的适用条件 1.3 回归参数的估计 1.4 总体回归系数β的统计推断 1.5 线性回归的应用
基础代谢 （kg/d）
3970.6 3983.2 5050.1 5355.5 4560.6 4874.4 5029.2
体重 （kg）
48.6 44.6 58.6 71.0 59.7 62.1 61.5
基础代谢(kJ/d)
由散点图看基础代谢与体重可能是直线关系
5800 5300 4800 4300 3800 3300 2800
II型回归 ：因变量（Y）和自变量（X）都是随机
变化的，叫Y 关于X 的II型回归。
表12-1 不同IgG浓度下的沉淀环数据
IgG浓度（IU/ml）X
12Βιβλιοθήκη 345沉淀环直径（mm）Y 4.0
5.5 6.2 7.7
8.5
小结：回归分析（Regression analysis）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式；
矮个子父子 高个子父子
线性回归（linear regression ）又称简单回归
（simple regression ） ：讨论两个变量间的数量依存关
系的统计方法，即研究一个变量如何随另一个变量变化 的常用方法。
两个变量：
因变量dependent variable 反应变量 response variable
4800
4300
Yˆ a bx
3800
3300
2800 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
利用回归方程，只要给定一个40-60岁的健康妇女的 体重值，就可估计出该个体的基础代谢值Y的平均值Ｙˆ 。
基础代谢(kJ/d)
线性回归关系的特点：
5800 5300 4800 4300 3800 3300 2800
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出具有 统计学意义的变量；
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给 出这种预测或控制的精确程度。
二、线性回归模型的适用条件
line
linear 线性
independent 独立性
normal 正态性
equal variance 等方差性
因变量Y 的总 体平均值与 自变量X呈线
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
图11-1 14名健康中年妇女的基础代谢与体重的散点图
散点图显示年龄组的基础代谢的样本均数与体重 几乎在一条直线上，略有些偏离直线的点可以理解 为样本均数的抽样误差所致，因此可以假定固定基
础代谢的总体均数μ Y∣X与体重X 的关系可能是直线
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。 当变量 X 取某个值时，变量Y取值可能有几个。 各观测点分布在直线周围
误差与残差
Y x Y Y|X 称为随机误差
ˆ
Y
) Y
Y
a
bx
关系，即有：
回归直线的截距参数 （intercept）
μ = Y∣X α+βX
回归直线的斜率参数（slope） 又称回归系数（regression coefficient）
上述直线方程称为线性回归模型 linear regression model
通常情况下，研究者只能获得一定数量的样本数 据，用样本数据建立的有关Y依从X变化的线性表达 式称为回归方程（regression equation），记为：
称为残差(residual)
根据上述，直线回归分析要求资料满足固定X， 则Y 服从正态分布等价于残差服从正态分布。
直线回归原理示意图：
所以如果固定X，Y 服从正态分布，其 散点图呈直线带状分布
线性回归的分类：
I 型回归 ：因变量（Y）是随机变化的，但自变量
（X）可以不随机 ，当它是能够精确测量和严密控制 的量时，叫Y 关于X 的I型回归。
：非独立的、受其它变量影响的变量，常用 “Y”表示。
自变量 independent variable或预测因子 predictor 或 解释变量explanatory variable
：能独立自由变化的变量，常用“X”表示。
例11-1：对14名40-60岁健康妇女的基础代谢（Y） 与体重（X）的相关系数r =0.964，现问基础代谢 （Y）是如何依存体重（X）变化而变化的？