2020高考数学(文)总复习《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p q p∧q p∨q 綈p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.

3.全称命题和特称命题

名称全称命题特称命题

结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)

否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)

1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p

与綈p→真假相反.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.

4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()

(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()

(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()

解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.

(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.

(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(老教材选修1－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.

答案 B

3.(新教材必修第一册P29习题1.5T3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________________________.

答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等

4.(2020·成都诊断)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋6<0，则綈p 为( ) A.∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6≥0 B.∃x ∈R ，x 2＋4x ＋6>0 C.∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6>0

D.∃x ∈R ，x 2＋4x ＋6≥0

解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A 是正确的. 答案 A

5.(2020·唐山模拟)已知命题p ：f (x )＝x 3－ax 的图象关于原点对称；命题q ：g (x )＝x cos x 的图象关于y 轴对称.则下列命题为真命题的是( ) A.綈p

B.q

C.p ∧q

D.p ∧(綈q )

解析 根据题意，对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝ －f (x )，为奇函数，其图象关于原点对称，p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ， g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ，为奇函数，其图象关于原点对称，q 为假命题，则

綈p 为假命题，q 为假命题，p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题. 答案 D

6.(2019·豫南五校联考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的

最大值为________.

解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，π3，∴1≤tan x ＋2≤2＋ 3.

∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.

∴实数m 的最大值为1. 答案 1

考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p ∨q

B.p ∧q

C.(綈p )∧(綈q )

D.p ∧(綈q )

(2)(2020·广州调研)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( )

A.p∧q

B.p∧(綈q)

C.(綈p)∧q

D.(綈p)∧(綈q)

解析(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p 是假命题.

又a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝x b(x∈R)，由b∥c知b＝y c(y∈R)，

∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.

综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.

綈p为真命题，綈q为假命题.

∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.

(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p∧(綈q)为真命题.

答案(1)A(2)B

规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.

2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.

【训练1】(1)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()

A.命题p与命题q都是真命题

B.命题p与命题q都是假命题

C.命题p是真命题，命题q是假命题

D.命题p是假命题，命题q是真命题

(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()

A.p

B.綈q

C.p∧q

D.p∨q

解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题.