控制系统第二章 拉普拉斯变换

第二章 拉普拉斯变换 单位阶跃函数 u(t )
0 u(t ) 1 t 0 t 0

（2.10）
其拉氏变换为
L[u (t )] e st dt
0
1 s
（2.11）
实际上，发生于 t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时， 把一个定常信号突然加到系统上。 高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t ) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t ) Au(t ) 。 (3) 斜坡函数
0 f (t ) At t 0 t 0
（2.12）
式中，A为常数。
其拉氏变换为
第二章 拉普拉斯变换
e st st L[ At] Ate dt At 0 s A A e st dt 2 s 0 s
0


0
Ae st dt s
（2.13）
t 特点，分别构成两个新的函数 (t )u(t ) 和 (t )e，这时， (t )u (t )
的积分区间由(-∞，∞)变成
[0, )，在积分区间 [0, )内
(t )u(t ) (t ) ；而 (t )e t 就有可能变得绝对可积。
如果再构成一个新的函数
(t )u(t )e t

函数用拉氏积分 0
e st dt
进行变换；
第二章 拉普拉斯变换
(4) F ( s)为时间函数 f (t ) 的拉氏变换。
于是，时间函数f (t ) 的拉氏变换为
L[ f (t )] F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt
st 0 0
r (t t0 )
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F ( s) 半平面内，
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
（2.3）
f (t ) 称为“原 即时间函数 F ( s)为 f (t ) 的拉普拉斯变换。在这里，
F ( s) 称为“象函数”。 函数”，
从拉氏变换 F ( s)求时间函数 f (t ) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
1 j L [ F ( s)] f (t ) F ( s)est ds 2j j
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s )t dt
0 0
A s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换 (2) 阶跃函数
0 f (t ) A t 0 t 0
（2.8）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
第二章 拉普Biblioteka Baidu斯变换
第二章
本章学习要点：
拉普拉斯变换
拉氏变换的概念；
拉氏变换的性质；
常用函数的拉氏变换；
拉氏逆变换； 卷积定理。
第二章 拉普拉斯变换
拉氏变换法的优点：
(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程 的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘 法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。
当A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，如图2.2(a)所示， 用 r (t ) 表示。发生在t＝t0时的单位斜坡函数通常写成 r(t t0 )， 如图2.2(b)所示。当高度为A的斜坡函数，即式（2.12）中的 f (t ) ， 当其发生在
t 0
r (t )
时，可以写成 f (t ) Ar(t ) 。
0
( j ) t
（2.2）
dt
这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换， 简称拉氏变换。 我们规定：
(1) f (t ) (t )u(t ) 为时间t的函数，并且当t<0时 f (t ) 0 ；
(2) s j为复变量； (3) L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间
在常数M>0及c≥0，使得
|f(t)| ≤Mect，0≤ t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为 它的增长指数）。 则
f (t )的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0

（2.5）
在半平面 Re (s) c上一定存在，右端的积分在 Re (s) c1 c
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt

(t )u (t )e
1
t≥0
（2.4）
式（2.4）和式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称
F ( s) 和 f (t ) 构成了一个拉氏变换对。
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数
f (t )满足下列条件：
(1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续；
f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存 (2) 当 t 时，
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简
化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域
中两函数的乘法运算。
第二章 拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出 利用单位阶跃函数 u(t ) 和指数衰减函数 e t (β＞0)所具有的
L[ A] Ae st dt
0
A s
（2.9）
当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示， 用
u(t ) 表示。 发生在t＝t
u(t )
1
u(t t0 ) 时的单位阶跃函数通常写成 0
u(t t0 )
1
如图2.1(b)所示。
0
(a)
t
0
t 0 (b)
t
图2.1 单位阶跃函数