求数列通项公式的11种方法

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求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 1 2．若a 则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得111

()n

n k a a f n +=-=∑

例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则

11232211

21()()()()33(1)3

3n n n n n a a a a a a a a a a n ---=-+-++-+-+++-+.答案：

12+-n n

练习2.已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项

求和

n a n 1

2-

=

评注：已知a a =1,)

(1

n f a a

n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指

数函数、分式函数，求通项

n

a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例

解:又S 则

a 1.2．若

1()n n a f n a +=，则31212

(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏

例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)12

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3

2[(1)32]53

325

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅

⋅⋅⋅=-+-+⋅

⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

例，则

a ∴n ∴

评注：本题是关于

n

a 和1

+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

n

a 与

1

+n a 的更为明显的关系式，从而求出

n

a .

练习.已知1

,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.

答案：

=n a )

1()!1(1+⋅-a n -1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

,

11-+=+n na a n n 转化为

),

1(11+=++n n a n a 若令

1

+=n n a b ,则问题进一步转化为

n

n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数

列的通项公式.

三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一

个函数。

1

（1（2（3求.

得

a c (所以111--n c c 即：

1)1(1--

⋅-+=c c c a a n . 规律：将递推关系d

ca a n n +=+1化为

1(11-+=-+

+c d

a c c d a n n ,构造成公比为

c 的等比

数列

}1{-+

c d a n 从而求得通项公式1(1111-++-=-+c d

a c c d a n n

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d

ca a n n +=+1中把n 换成n-1有

d

ca a n n +=-1,

两式相减有

)

(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列

}

{1n n a a -+,进而求得通项公

式.)(121

a a c a a n

n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：121(2),n n a a n -=+≥

又

{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列

n a ∴+2n n a a =两式相减得1n n a a +-=再用累加法的……{2求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1

+n p .目的是把所求数列构造成等差数列

即：

n

n n

n n q p p q a p a )

(11

1

⋅+=++,令n n n p a b =，则n n n q p p b b (11⋅=-+,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以1

+n q .目的是把所求数列构造成等差数列。