长治市第二中学校2020-2021学年高二第二学期第一次月考数学(理)试卷

2020—2021学年第二学期高二第一次月考数学试题（理科）
命题人：杨迎春 审题人： 王凤霞 【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．设()f x 为可导函数，则0
(1)(1)
lim 3x f x f x
∆→+∆-=∆
A ．(1)f '
B ．3(1)f '
C ．
1
(1)3
f ' D ．(3)f '
2．函数22ln y x x =-的单调递增区间是
A ．1(0,)2
B ．
C ．1(,)2
+∞
D ．1(,0)2-和1(0,)2
3．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =
C ．1a =，1b =-
D ．1a =-，1b =-
4．已知函数32()7f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是
A ．(,[3,)-∞+∞
B ．[
C ．(,-∞
D ．(
5．函数()x
x
f x e =-
(1)a b <<，则 A ．()()f a f b =
B ．()()f a f b <
C ．()()f a f b >
D ．()f a ，()f b 大小关系不能确定
6．1
(x e dx =⎰
A ．4
e π
-
B ．14
e π
--
C ．12
e π
--
D ．2
e π
-
7．曲线12
x y e =在点2(4,)P e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．292
e B ．24e C ．22e D ．2e
8．设函数1
()ln 3
f x x x =
-，则()y f x =满足 A ．在1(,1)e ，(1,)e 内均有零点 B ．在1(,1)e
，(1,)e 内均无零点
C ．在1(,1)e 内无零点，在(1,)e 内有零点
D ．在1(,1)e
内有零点，在(1,)e 内无零点
9．设a R ∈，已知函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条
切线的斜率为3
2
，则该切点的横坐标是 A ．ln2
B ．ln2-
C ．
ln 2
2
D ．ln 2
2
-
10．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满
足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有 A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．9种
11．下列只有一个是函数3221
()(1)13
f x x ax a x =++-+(0)a ≠的导函数的图象，则(1)f -=
A ．13
-
B ．1
3
C ．73
D ．13-或73
12．已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象
如图所示．
下列关于函数()f x 的命题： ⑴ 函数()f x 的极大值点为0，4； ⑵ 函数()f x 在[0,2]上是减函数；
⑶ 如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ⑷ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑸ 函数()y f x a =-的零点个数可能是0，1，2，4， 其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31
3
y x =-81234x +-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件．
14．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后
再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 种． 15．已知在区间(,)a b 上，()0f x >，()0f x '>，对x 轴上任意两点1(,0)M x ，2(,0)N x (a <
12)
x x b <<都有
1212()()()22
x x f x f x f ++>
．若
1()b
a
S f x dx
=⎰
，
2()()
()2
f a f b S b a +=
-，3S ()()f a b a =-，
则1S ，2S ，3S 的大小关系为 ． 16．已知函数()ln ln f x x k k x =-的图象不经过第四象限，则实数k = ．
三、解答题（本大题共70分） 17．（10分）求下列函数的导函数：
（1）()cos x f x e x =⋅； （2
）()ln(f x x =．
18．（12分）已知42()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是
2y x =-．
⑴ 求()y f x =的解析式； ⑵ 求()y f x =的单调递增区间．
19．（12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，其中[0,1]t ∈．
⑴ 求图中阴影部分的面积1S 与2S 之和12S S +（用t 表示）； ⑵ 确定t 的值，使得12S S +最小，并求出最小值．
20．（12分）已知函数ln ()x
f x x
=
． ⑴ 求函数()f x 的最大值；
⑵ 设实数0a >，求函数()()F x af x =在区间[,2]a a 上的最小值．
21．（12分）已知函数2()1
x
e f x ax x =++，其中a R ∈．
⑴ 若0a =，求函数()f x 在区间(1,)-+∞上的极值；
⑵ 当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明．
22．（12分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数()g x
()f x =+
2
12
x bx -． ⑴ 求实数a 的值；
⑵ 若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； ⑶ 设1x ，2x 12()x x <是函数()g x 的两个极值点，若7
2
b ≥，求12()()g x g x -的最小值．。