第8章第2讲 两条直线的位置关系

第2讲两条直线的位置关系

[考纲解读] 1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，根据两条直线的斜率能判断两条直线的平行或垂直．(重点)

2．能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题．(难点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲内容很少独立命题．预测2021年高考会与其他知识结合考查两直线的位置关系、求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题．题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题型.

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件

两直线位

置关系

斜率的关系

两条不重合的直线

l1，l2，斜率分别为k1，

k2

平行

□

01k1＝k2

k1与k2都不存在

垂直

□

02k1·k2＝－1

k1与k2一个为零、另一个不存在三种距离条件公式

两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)

|AB|＝□01

(x1－x2)2＋(y1－y2)2

点到直线的距离

P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C

＝0的距离为d

d＝□02

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

两平行线间的距离

直线Ax＋By＋C1＝0到直线

Ax＋By＋C2＝0的距离为d

d＝□03

|C1－C2|

A2＋B2

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程

为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.

1．概念辨析

(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )

(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身

(1)若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( )

A ．7

B ．0或7

C ．0

D ．4

答案 B

解析 ∵直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，∴m (m －1)＝3m ×2，∴m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.

(2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________． 答案

5

解析 原点到直线x ＋2y －5＝0的距离d ＝

|－5|12

＋2

2

＝ 5.

(3)经过直线l 1：x ＋y －5＝0，l 2：x －y －1＝0的交点且垂直于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为________．

答案 x －2y ＋1＝0

解析 联立直线l 1与l 2的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝2，所以直线

l 1与l 2的交点坐标为(3,2)，设所求直线的方程为x －2y ＋C ＝0，将点(3,2)的坐标代入直线方程得3－2×2＋C ＝0，解得C ＝1，因此，所求的直线方程为x －2y ＋1

＝0.

(4)已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋y －4＝0

解析 ∵直线PQ 的斜率k 1＝1，∴直线l 的斜率k 2＝－1，又线段PQ 的中点坐标为(1,3)，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.

题型一 两条直线的位置关系

1．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．

答案 －9

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1

＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.

2．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．

(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；

(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知，得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.

∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝4

3(矛盾)， ∴此种情况不存在，

∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0.

∵k 2＝1－a ，k 1＝a

b ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a

b (1－a )＝－1.① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②

由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，

∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a

b ＝1－a ，③ 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4

b ＝b ，④

联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝－2或⎩⎨

⎧

a ＝2

3，b ＝2.

∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2

3，b ＝2.

1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 2．由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 2

1≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)

l 1与l 2垂直的充要条件

A 1A 2＋

B 1B 2＝0