空间立体几何点线面判断及证明

常州知典教育一对一教案
学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞
- 1 - / 21
平行关系
相交关系
独有关系
(1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
(2)下列命题正确是( )
A．若两条直线和同一个平面所成角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面；
对于选项C，还可以是n⊂α；
对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．
(2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，
∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行性质定理可证C正确．故选C.
【答案】(1)B (2)C
【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行判定与性质、垂直判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系各种可能情况．解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象．
解决空间位置关系问题方法
- 3 - / 21
(1)解决空间中点、线、面位置关系问题，首先要明确空间位置关系定义，然后通过转化方法，把空间中位置关系问题转化为平面问题解决．
(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．
考向2 异面直线所成角
1．两条异面直线所成角
过空间任意一点分别引两条异面直线平行直线，那么这两条相交直线所成锐
角或直角叫作这两条异面直线所成角．若记这个角为θ，则θ∈⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，π2.
2．判定空间两条直线是异面直线方法
(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 连线和平面内不经过点B 直线是异面直线．
(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．
(1)(2014·
大
纲
全
国
，
4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 中点，则异面直线CE 与BD 所成角余弦值为( )
A.16
B.36
C.13
D.33
(2)如图，已知二面角α-MN -β大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 中点，DO ⊥面α，垂足为O .
①证明：AB⊥平面ODE；
②求异面直线BC与OD所成角余弦值．
【解析】(1)如图，取AD中点F，连接CF，EF，则EF∥BD，
∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成角．
设正四面体棱长为2，则CE＝CF＝3，EF＝1
2BD＝1.
由余弦定理得cos∠CEF＝CE2＋EF2－CF2
2CE·EF＝
3
6.
∴CE与BD所成角余弦值为
3
6.故选B.
(2)①证明：如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.
连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．
又E是AB中点，∴DE⊥AB.
而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.
②因为BC∥AD，所以BC与OD所成角等于AD与OD所成角，即∠ADO是异面直线BC与OD所成角．
由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β平面角，从而∠DEO＝60°.
不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝3.
在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝
3
2.
连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝
DO
AD＝
3
2
2＝
3
4.
故异面直线BC与OD所成角余弦值为
3
4.
【点拨】解题(1)关键是选取合适点作出异面直线平行线．解题(2)时应注意异面直线所成角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．
求异面直线所成角方法
(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊位置，顶点选在特殊位置上．
(2)证：证明作出角为所求角．
(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．
两异面直线所成角归结到一个三角形内角时，容易忽视这个三角形内角可能等于两异面直线所成角，也可能等于其补角．
考向3线面平行判定与性质
直线与平面平行判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言
判
定
定
理
不在平面内一条直线与此
平面内一条直线平行，则
该直线与此平面平行(简记
为线线平行⇒线面平行)
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊄α
a⊂α
l∥a
⇒l∥α
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行
，则过这条直线任一平面
与此平面交线与该直线平
行(简记为线面平行⇒线线
⎭⎪
⎬
⎪⎫
a∥α
a⊂β
α∩β＝b
⇒a∥b
- 5 - / 21
平行)
直线与平面平行判定定理和性质定理中三个条件缺一不可；线面平行性质定理可以作为线线平行判定方法．
(2014·北京，17，14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E-ABC体积．
【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．
【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
所以BB 1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：如图，取AB中点G，连接EG，FG.
因为G，F分别是AB，BC中点，
所以FG∥AC，且FG＝1
2AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1中点，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形．
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝AC2－BC2＝3.
所以三棱锥E-ABC体积
V＝1
3S△ABC·AA1＝
1
3×
1
2×3×1×2＝
3
3.
1.证明线面平行问题思路(一)
(1)作(找)出所证线面平行中平面内一条直线；
(2)证明线线平行；
(3)根据线面平行判定定理证明线面平行．
2．证明线面平行问题思路(二)
(1)在多面体中作出要证线面平行中线所在平面；
(2)利用线面平行判定定理证明所作平面内两条相交直线分别与所证平面平行；
(3)证明所作平面与所证平面平行；
(4)转化为线面平行．
(2013·江苏，18，13分)如图①，在边长为1等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上点，AD＝AE，F 是BC中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图②所示三棱锥A-BCF，
其中BC＝
2 2.
(1)证明：DE∥平面BCF；
- 7 - / 21
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝2
3时，求三棱锥F-DEG体积．
解：(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴AD
DB＝
AE
EC，在折叠后三棱锥A-BCF中也成立，
∴DE∥BC.
∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)证明：由图①，在等边三角形ABC中，F是BC中点，∴AF⊥BC，在三棱锥中仍有AF⊥CF，
BF＝CF＝1 2.
∵在三棱锥A-BCF中，BC＝
2 2，
∴BC2＝BF2＋CF2，
∴CF⊥BF.
又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V F
­DEG
＝V E­DFG
＝1
3×
1
2·DG·FG·EG
＝1
3×
1
2×
1
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
3×
3
2
×
1
3
＝
3
324.
考向4面面平行判定与性质
平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言
判
定
定
理
一个平面内两条相交直线
与另一个平面平行，则这
两个平面平行(简记为线面
平行⇒面面平行)⎭
⎪
⎬
⎪⎫
a⊂α
b⊂α
a∩b＝P
a∥β
b∥β
⇒α∥β
性
质
定
理
如果两个平行平面同时和
第三个平面相交，那么它
们交线平行⎭
⎪
⎬
⎪⎫
α∥β
α∩γ＝a
β∩γ＝b
⇒a∥b
平面与平面平行性质定理实际上给出了判定两条直线平行一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1体积．
- 9 - / 21
【解析】 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，
∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1高． 又∵AO ＝1
2AC ＝1，AA 1＝2， ∴A 1O ＝AA21－AO 2＝1. 又∵S △ABD ＝1
2×2×2＝1， ∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.
【点拨】 解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)关键是选易求高底面，利用线面垂直判定找高．
1.判定面面平行四个方法
(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点．
(2)利用面面平行判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线两平面平行．
(4)利用平面平行传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．
2．平行问题转化关系
(2014·十校联考，18，12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C中点．
∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
∴A1B∥ED.
∵E是A1C中点，∴D是BC中点．
又D1是B1C1中点，∴D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴BD1∥C1D.
又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
考向5线面垂直判定与性质
直线与平面垂直判定定理及性质定理
文字语言图形语言符号语言判
定定理一条直线与平面内两条
相交直线都垂直，则该
直线与此平面垂直⎭⎪
⎬
⎪⎫
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
性
质定理垂直于同一个平面两条
直线平行⎭⎪
⎬
⎪⎫
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心菱形，PO⊥
底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π
3，M为BC上一点，且BM＝
1
2.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 体积．
【思路导引】 (1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OM ⊥BM ，再由线面垂直判定定理证明；
(2)将底面四边形ABMO 分为△ABO 与△MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO ，代入棱锥体积公式求解．
【解析】 (1)证明：如图，连接OB ，
因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π
3，
故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π
6＝1. 又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，
在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
－2×1×12×cos π3＝34.
所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .
又OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，OM ∩PO ＝O ， 所以BC ⊥平面POM .
(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2·cos π
6＝3.
设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形， 故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34
.
如图，连接AM .在△ABM 中，AM 2
＝AB 2
＋BM 2
－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
－2×2×12×cos 2π3＝21
4.
由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝21
4， 得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝3
2. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538. 所以四棱锥P -ABMO 体积
V P ­ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝5
16.
1.证明直线与平面垂直一般步骤
(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直． (2)证：证明所找到或所作直线与已知直线垂直． (3)用：利用线面垂直判定定理，得出结论． 2．判定线面垂直四种方法 (1)利用线面垂直判定定理．
(2)利用“两平行线中一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中一个，则与另一个平面也垂直”． (4)利用面面垂直性质定理．
考向6 面面垂直判定与性质
平面与平面垂直判定定理及性质定理
文字语言图形语言符号语言判
定定理一个平面过另一个平面
一条垂线，则这两个平
面互相垂直
⎭⎪
⎬
⎪⎫
l⊂β
l⊥α
⇒α⊥β
性
质定理两个平面互相垂直，则
一个平面内垂直于交线
直线垂直于另一个平面⎭⎪
⎬
⎪⎫
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α(2014·江苏，16，14
分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB
中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线P A∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【思路导引】(1)利用三角形中位线性质找到线线平行，再运用直线与平面平行判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．
【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC中点，
所以DE∥P A.
又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线P A∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB中点，P A＝6，BC＝8，所以DE∥P A，
DE＝1
2P A＝3，EF＝
1
2BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，
- 15 - / 21
所以平面BDE⊥平面ABC.
1.面面垂直证明两种思路
(1)用面面垂直判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面一条垂线；
(2)用面面垂直定义，即证明两个平面所成二面角是直二面角，把证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题．
2．垂直问题转化关系
考向7线面角、二面角求法
1．线面角
(1)当l⊥α时，线面角为90°.
(2)当l∥α或l⊂α时，线面角为0°.
(3)线面角θ范围：0°≤θ≤90°.
2．二面角
(1)如图，二面角α-l-β，若①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α-l-β平面角．
(2)二面角θ范围：0°≤θ≤180°.
如图，四棱锥P-ABCD底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝
2，AD＝2，P A＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC中点．
(1)证明：EF∥平面P AB.
(2)若二面角P-AD-B为60°，
①证明：平面PBC⊥平面ABCD；
②求直线EF与平面PBC所成角正弦值．
【思路导引】(1)因为E，F分别是所在棱中点，可取PB中点M，证明四边
形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行判定定理证明．
(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成角．
【解析】(1)证明：如图，取PB中点M，连接MF，
AM.
因为F为PC中点．
故MF∥BC且MF＝1
2BC.
由已知有BC∥AD，BC＝AD.
又由于E为AD中点，
因而MF∥AE且MF＝AE，
故四边形AMFE为平行四边形，
所以EF∥AM.
又AM⊂平面P AB，而EF⊄平面P AB，
所以EF∥平面P AB.
(2)①证明：如图，连接PE，BE.
因为P A＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，
故PE⊥AD，BE⊥AD，
所以∠PEB为二面角P-AD-B平面角．
在△P AD中，由P A＝PD＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，
由余弦定理，可解得PB＝3，
从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.
又BC∥AD，BE⊥AD，
从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.
又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.
②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，
所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成角．
由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．
- 17 - / 21
而MB＝1
2PB＝
3
2，可得AM＝
11
2，故EF＝
11
2.
又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BE
EF＝
211
11.
所以直线EF与平面PBC所成角正弦值为211 11.
1.求空间角三个步骤
(1)找：即找出相关角；
(2)证：即证明找出角即为所求角；
(3)计算：即通过解三角形方法求出所求角．
2．空间角找法
(1)线面角
找出斜线在平面上射影，关键是作出垂线，确定垂足．
(2)二面角
二面角大小用它平面角来度量，平面角常见作法有：①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用方法．
课堂练习巩固练习：
1.如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角余弦值．
2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD中点．
(1)证明：直线MN∥平面SBC；
(2)证明：平面SBD⊥平面SAC.
3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠
ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△P AC位置，使得P点在平面ADC上正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD中点．
(1)求证：平面OEF∥平面APD；
(2)求证：CD⊥平面POF；
(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥E-CFO体积
错
题
- 19 - / 21
回顾
1.解：(1)证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴P A⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，
∴AB⊥平面P AD.
∵PD⊂平面P AD，
∴AB⊥PD.
∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.
∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)由(1)知，AM⊥PD，又P A＝AD，
则M是PD中点．
在Rt△P AD中，AM＝2，
在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3，
∴S
△ACM
＝
1
2AM·MC＝
6
2.
设点D到平面ACM距离为h，由V D
­ACM
＝V M­ACD，
得
1
3S△ACM·h＝
1
3S△ACD·
1
2P A.
解得h＝
6
3.
设直线CD与平面ACM所成角为θ，
则sin θ＝
h
CD＝
6
3，
∴cos θ＝
3
3.
∴直线CD与平面ACM所成角余弦值为
3
3.
2.证明：(1)如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.
∵M为SA中点，
故ME∥AB，且ME＝
1
2AB.
∵N为CD中点，
故CN＝
1
2AB，从而ME∥CN，且ME＝CN，
∴四边形MECN是平行四边形，
∴MN∥EC.
又EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，
∴直线MN∥平面SBC.
(2)如图，连接AC，BD相交于点O.
∵SA⊥底面ABCD，故SA⊥BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
又SA∩AC＝A，故BD⊥平面SAC.
又BD⊂平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC.
3.解：(1)证明：因为点P在平面ADC上正投影O恰好落在线段AC上，
所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.
教研组长签字：- 21 - / 21。