graham scan算法 原理

Graham Scan算法
一、概述
Graham Scan算法是一种用于计算凸包的算法，它可以在给定二维平面上的一组点时，找到这些点形成的凸包。

凸包是包围点集的最小凸多边形，它的边界上的点不弯曲向内。

二、算法原理
Graham Scan算法采用了一种基于极角排序的方法来求解凸包，其基本思路如下：
1.找到y坐标最小的点P0，将P0作为凸包的起点。

2.将其他点按照与P0的极角进行逆时针排序。

3.遍历排序后的点集，如果凸包的点个数小于2，或者遍历点与前两个点的构
成的两条线段的转向（顺时针或逆时针）满足逆时针，则将遍历点添加到凸包中；否则，将凸包的最后一个点移除，再添加遍历点。

4.最终的凸包即为所有添加后剩下的点集。

三、算法实现步骤
下面将详细介绍Graham Scan算法的实现步骤：
1. 寻找起点
先确定凸包的起点，即y坐标最小的点P0。

可以通过比较每个点的y坐标找到最小的那个点。

如果有多个点的y坐标相等，选择其中x坐标最小的点。

2. 极角排序
对于起点P0之外的其他点，计算它们与P0的极角，并按照极角进行逆时针排序。

计算极角时，可以使用两点之间的斜率来表示，斜率越大则两点之间的角度越小。

3. 构建凸包
从排好序的点集中依次取出每个点Pi，将其添加到凸包中。

首先，检查凸包中的点个数是否小于2。

当凸包中的点个数小于2时，直接将Pi 添加到凸包中。

然后，检查凸包中的最后两个点Pi-1和Pi-2构成的线段的转向。

当这两个点以及Pi构成的三个点满足逆时针时，将Pi添加到凸包中。

反之，将凸包中的最后一个点移除，再将Pi添加到凸包中。

4. 输出凸包
最终，凸包中包含了输入点集形成的凸多边形。

遍历凸包中的点，按顺序输出它们的坐标，即可得到凸包。

四、算法复杂度分析
时间复杂度
1.寻找起点：需要遍历所有点来找到起点，时间复杂度为O(n)。

2.极角排序：对n-1个点进行排序，时间复杂度为O(nlogn)。

3.构建凸包：需要遍历所有点，时间复杂度为O(n)。

4.输出凸包：输出凸包中的点，时间复杂度为O(n)。

因此，Graham Scan算法的总时间复杂度为O(nlogn)。

空间复杂度
Graham Scan算法所需的额外空间主要是存储凸包的点，即O(n)。

五、优点和应用
优点
1.Graham Scan算法简单易实现，适用于二维平面上的点集。

2.算法复杂度较低，时间复杂度为O(nlogn)，性能较好。

3.可以高效地找到凸包，凸包在许多计算几何问题中有广泛的应用。

应用
1.计算凸包：Graham Scan算法被广泛应用于计算凸包，用于求解包围点集的
最小凸多边形。

2.裁剪算法：Graham Scan算法可用于裁剪算法中，以确定两个凸多边形的相
交部分。

3.寻找脊线：在遥感图象处理中，Graham Scan算法可以用于寻找图像中的脊
线。

六、总结
Graham Scan算法是一种用于计算凸包的算法，通过极角排序和逆时针遍历的方式，可以高效地求解给定点集的凸包。

该算法设计简单，时间复杂度低，应用广泛，对于解决计算几何问题具有重要意义。