不同域上的不可约多项式
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5.5"次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性6
6、有限域上的不可约多项式7
6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法・・・・・・・・7
6.29阶有限域上的不可约多项式8
致谢9
参考文献11
不同域上的不可约多项式
摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比 分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式 的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字 ：复数域 实数域 有理数域 有限域 不可约多项式
中图分类号：O151
Irreducible polynomials in the different fieldsAbstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible. In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.
3
定理2[1](代数基本定理)每个次数-1的复系数多项式在复数域中至
少有一根。
定理3[1](复系数多项式因式分解定理)每个次数 -1的复系数多项式在
0
复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。
4
定理4[1](实系数多项式因式分解定理)每个次数_1的实系数多项式
f(G)1=0，f(cj--1(i =1,2,... n)
假设f(x)在有理数域Q上不是不可约多项式，因为：:f (x)二n■1,所以
f(x)在有理数域Q上可约,也即是f(x)在整数环Z上可约,所以存在整系数多
项h(x)和g(x)，使得f (x) =h(x)g(x)
其中
$h(x)>Ef (x)=n，柱g (x)c&f (x) = n。
所以
■：(h(x)g(x)) < n，
所以由
仆⑺二一1,得h(cjg(c) = -1，
因此
h(c )g(cj=0(i=1,2,..., n)
所以
h(x) g(x)=0
即有
g(x)一h(x), f (x)一h(x)2,
所以f(x)首项系数为负数与1矛盾,
域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
f(x^p!(x) P2(x^| Ps(x) =q!(x)q2(x)川qt(x)
那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有
Pi(x) =Gqi(x),i =1,2^|,s，
其中Ci(i=12川,s)是一些非零常数.
因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具 体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式 的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的 多项式的是否可约。
..k
g(x)我dx川bkX,
h(x) =c°yx|||cx",
使得f (x) =g(x)h(x),其中k l = n,k:::n,l:::n.
因为a。=boC。，p| a。，p2| a°,所以b°与c°不能同时被p整除
不妨设p |bo, p | Co.因为a.=bkC, p | an，所以p | bk.设
现在假设f(x)在Z上可约，即存在整系数多项式
g(x)二brxrbr」xr」...b1x b0
h(x)二csxsxs 4... c1x c0
使得f (x)二g(x)h(x)，则a。=boCo
另一方面，记g(x)的复根为〉1,〉2,……：'r,它们都是f (x)的根，故
Gj|>1(j =1,2,..., r)。结合韦达定理得出
5
定理6[2]假如f (x)二a°-a1x a?x2•||「a.xn•Z[x]是整系数多项式，如 果存在一个素数P，使得;1)p|a°;2) p R, plajl], p|an；3)p | an，则f (x)在Q lx 1上不可约。
定理7[3]设f (x)二a。•ajx•a?x2• |l「anXn•Z[x]为次数大于3的整系
其中g(x)"iX1• bbo
■ / \mm_1
h(X)=OmX-CmjXCo
均为本原多项式，且l,m:::n,m •丨二n,从而an」=bcm」-bjCm,a0=boco
由已知p|a°=b°Co，而p2| ao，所以不妨设：p | bo，而p | co，又因为p|a」，所以p不能同时整除bi及bA，不妨设b°,bj||,b中第一个不能被p整除的数是bk，即p|bo,bi,||(,bk」，而p1bk
证明：因为ag=印=|)(=an=1，所以不存在这样的素数P满足
Eise nstein判别法的条件，但是如果我们
令x=y1，则由于(x -1)f (x) =xn-1
yf(y I) = (y 1)P-仁ypC；y2川c汇y
令g(y)二f(y 1)，于是
g(y)=y・cpyp，川c：」
由Eisenstein判别法，g( y)在有理数域上不可约，所以f (x)也在有理 数域上不可约。
于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一
个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不 可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数 域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
2
定理1[1]数域P上每个次数_1的多项式f(x)都可以唯一地分解成
bo|=|br|-a1 ...|ar I>bj，即|b^>|bJ+10
同理，c°|k|cs|+1，于是
a°| = bj|cj工(b」+1)( Cs| +1)
=brcs|+br|+|cs+1纠brcs|+2jbrcs十1
=十2』^+1
与(1)矛盾，故f(x)在Z上不可约。
1
令F(x)二xnf()，则f(x)在Z上可约显然等价于F(x)在Z上可约。因此
由设p|ak,及P|bo,b1,川,bk」，所以p| bkCo，而p |Co, p f bk，所以p |bkCo，
这是一个矛盾！
另当p|Co,p|bo时，同理可证矛盾！
所以f(X)在整数环上不可约，证毕。
5.4
由代数基本定理，z[x]中n次多项式在复数域中有n个根，通过系数多
项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。
定理8[4]设f (x) =anXn-anjxn J-...-aixa。•Z[x]满足
an|+…+|ai|£|ao|£|an +2JaJ +1,
(1)
则f (x)在Z上不可约(从而在Q上不可约).
证明Biblioteka Baiduf(x)的复根的模均大于1。
实际上，设f (x)有根〉满足_1,贝U
a°|兰印|冋+...+总卜「兰印|+...+a“，与(1)矛盾。
其中1岂k乞丨：:：n
下面分两种情况讨论：
1)当k=l=n-1时
可证m=1 从而f(X)-(bn”"'*bn/X^ *||| -bo)(C1X Co)
可得f(x)有有理根，此题与题设矛盾，同理可证k = 1
2)当 1k:::n -1时
考虑f(x)中Xk的系数：ak=bkCo' bkJC^ JU ' boCk
p |b。，p| bJH, P咫」，p | bs(仁s乞k).考察等式
as=boCsbiCs』III bs4CibsC。.
由于p|as, p|(boCs-be |l(-bs4Ci)，所以p |bsC。，这与p | bs, p |Co矛
盾，故f(x)在Z(x)中不可约，因而在Q[x]中不可约(证毕)
对任意正整数n,xn2都是z上不可约多项式，从而Z[x](及Q[x])中 存在任意次数的不可约多项式.
在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积•
由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式 (判别式小于0)。
5
每个次数-1的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多 项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却
是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。
x
定理8中ao与an是对称的。定理8表明，只要多项式的首项系数与常数项 的绝对值足够大时，它在Z上就不可约。
5.5
定理9[5]设f(x)=xnaW…an」x a为整系数多项式,若f (x)1
有n个两两不同的整数根,则f(x)在有理数域Q上不可约。
证明：(反证法)设f(x)1的n个两两不同的整数根为C1,c2,...,q1,则有
Key Words: Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials
不同域上的不可约多项式
1
一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理
论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对
5.1
定理5[1](Eisenstein判别法) 设f (x)=a°• ajx•111•an」xn‘ ax"是
一个整系数多项式，如果存在素数p使得
(1)p|ao,p|a1,|[|, p an4；
(2)p|an；
2
⑶p I ao
那么f(x)在Q上不可约
证明：若f(x)在有理数域上可约，则f(x)在Z上可约，即存在整系数 多项式
不同域上的不可约多项式
学生承诺
我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规 范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点， 不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违 规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。
学生（签名）：
年 月 日
指导教师承诺
我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪 守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和 引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、 篡改实验数据的现象。
5
一般地对f(X)•Z(x)，常作变换ay b,则f (x)二f (ay b^ f (y),很显然f(x)与g(y)在Q[x]上具有相同的可约性.
有时候对于某个多项式不能直接应用Eise nstein判别法，可以把它进
行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P是一个素数，多项式f(x)=xp*■ xp^ x1叫做一个分 圆多项式，证明f(x)在Q[x]中不可约。
指导教师（签名）：
年 月 日
1、前言0
2、因式分解定理及唯一性定理0
3、复系数多项式0
4、实系数多项式1
5、有理系数多项式1
5.1艾森斯坦(Eisenstein)判别法1
5.2艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的变式2
5.3艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的等价定理3
5.4多项式的复根与其不可约性4
数多项式，且f(x)无有理根存在，如有整数P使得
2
1)P|a。,P |ag;
2)P|a1，p|a2」ll, p|an,；
3)p | an4
则f (x)在整数环上一定不可约
证明：这里仅考虑f (x)为本原多项式的情形反设f (x)在整数环上可约， 其分解式为：f(x)=(b£ +b|斗卅%)(CmXm+cm4Xm4+|||+c0)
6、有限域上的不可约多项式7
6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法・・・・・・・・7
6.29阶有限域上的不可约多项式8
致谢9
参考文献11
不同域上的不可约多项式
摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比 分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式 的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字 ：复数域 实数域 有理数域 有限域 不可约多项式
中图分类号：O151
Irreducible polynomials in the different fieldsAbstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible. In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.
3
定理2[1](代数基本定理)每个次数-1的复系数多项式在复数域中至
少有一根。
定理3[1](复系数多项式因式分解定理)每个次数 -1的复系数多项式在
0
复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。
4
定理4[1](实系数多项式因式分解定理)每个次数_1的实系数多项式
f(G)1=0，f(cj--1(i =1,2,... n)
假设f(x)在有理数域Q上不是不可约多项式，因为：:f (x)二n■1,所以
f(x)在有理数域Q上可约,也即是f(x)在整数环Z上可约,所以存在整系数多
项h(x)和g(x)，使得f (x) =h(x)g(x)
其中
$h(x)>Ef (x)=n，柱g (x)c&f (x) = n。
所以
■：(h(x)g(x)) < n，
所以由
仆⑺二一1,得h(cjg(c) = -1，
因此
h(c )g(cj=0(i=1,2,..., n)
所以
h(x) g(x)=0
即有
g(x)一h(x), f (x)一h(x)2,
所以f(x)首项系数为负数与1矛盾,
域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
f(x^p!(x) P2(x^| Ps(x) =q!(x)q2(x)川qt(x)
那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有
Pi(x) =Gqi(x),i =1,2^|,s，
其中Ci(i=12川,s)是一些非零常数.
因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具 体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式 的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的 多项式的是否可约。
..k
g(x)我dx川bkX,
h(x) =c°yx|||cx",
使得f (x) =g(x)h(x),其中k l = n,k:::n,l:::n.
因为a。=boC。，p| a。，p2| a°,所以b°与c°不能同时被p整除
不妨设p |bo, p | Co.因为a.=bkC, p | an，所以p | bk.设
现在假设f(x)在Z上可约，即存在整系数多项式
g(x)二brxrbr」xr」...b1x b0
h(x)二csxsxs 4... c1x c0
使得f (x)二g(x)h(x)，则a。=boCo
另一方面，记g(x)的复根为〉1,〉2,……：'r,它们都是f (x)的根，故
Gj|>1(j =1,2,..., r)。结合韦达定理得出
5
定理6[2]假如f (x)二a°-a1x a?x2•||「a.xn•Z[x]是整系数多项式，如 果存在一个素数P，使得;1)p|a°;2) p R, plajl], p|an；3)p | an，则f (x)在Q lx 1上不可约。
定理7[3]设f (x)二a。•ajx•a?x2• |l「anXn•Z[x]为次数大于3的整系
其中g(x)"iX1• bbo
■ / \mm_1
h(X)=OmX-CmjXCo
均为本原多项式，且l,m:::n,m •丨二n,从而an」=bcm」-bjCm,a0=boco
由已知p|a°=b°Co，而p2| ao，所以不妨设：p | bo，而p | co，又因为p|a」，所以p不能同时整除bi及bA，不妨设b°,bj||,b中第一个不能被p整除的数是bk，即p|bo,bi,||(,bk」，而p1bk
证明：因为ag=印=|)(=an=1，所以不存在这样的素数P满足
Eise nstein判别法的条件，但是如果我们
令x=y1，则由于(x -1)f (x) =xn-1
yf(y I) = (y 1)P-仁ypC；y2川c汇y
令g(y)二f(y 1)，于是
g(y)=y・cpyp，川c：」
由Eisenstein判别法，g( y)在有理数域上不可约，所以f (x)也在有理 数域上不可约。
于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一
个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不 可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数 域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
2
定理1[1]数域P上每个次数_1的多项式f(x)都可以唯一地分解成
bo|=|br|-a1 ...|ar I>bj，即|b^>|bJ+10
同理，c°|k|cs|+1，于是
a°| = bj|cj工(b」+1)( Cs| +1)
=brcs|+br|+|cs+1纠brcs|+2jbrcs十1
=十2』^+1
与(1)矛盾，故f(x)在Z上不可约。
1
令F(x)二xnf()，则f(x)在Z上可约显然等价于F(x)在Z上可约。因此
由设p|ak,及P|bo,b1,川,bk」，所以p| bkCo，而p |Co, p f bk，所以p |bkCo，
这是一个矛盾！
另当p|Co,p|bo时，同理可证矛盾！
所以f(X)在整数环上不可约，证毕。
5.4
由代数基本定理，z[x]中n次多项式在复数域中有n个根，通过系数多
项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。
定理8[4]设f (x) =anXn-anjxn J-...-aixa。•Z[x]满足
an|+…+|ai|£|ao|£|an +2JaJ +1,
(1)
则f (x)在Z上不可约(从而在Q上不可约).
证明Biblioteka Baiduf(x)的复根的模均大于1。
实际上，设f (x)有根〉满足_1,贝U
a°|兰印|冋+...+总卜「兰印|+...+a“，与(1)矛盾。
其中1岂k乞丨：:：n
下面分两种情况讨论：
1)当k=l=n-1时
可证m=1 从而f(X)-(bn”"'*bn/X^ *||| -bo)(C1X Co)
可得f(x)有有理根，此题与题设矛盾，同理可证k = 1
2)当 1k:::n -1时
考虑f(x)中Xk的系数：ak=bkCo' bkJC^ JU ' boCk
p |b。，p| bJH, P咫」，p | bs(仁s乞k).考察等式
as=boCsbiCs』III bs4CibsC。.
由于p|as, p|(boCs-be |l(-bs4Ci)，所以p |bsC。，这与p | bs, p |Co矛
盾，故f(x)在Z(x)中不可约，因而在Q[x]中不可约(证毕)
对任意正整数n,xn2都是z上不可约多项式，从而Z[x](及Q[x])中 存在任意次数的不可约多项式.
在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积•
由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式 (判别式小于0)。
5
每个次数-1的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多 项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却
是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。
x
定理8中ao与an是对称的。定理8表明，只要多项式的首项系数与常数项 的绝对值足够大时，它在Z上就不可约。
5.5
定理9[5]设f(x)=xnaW…an」x a为整系数多项式,若f (x)1
有n个两两不同的整数根,则f(x)在有理数域Q上不可约。
证明：(反证法)设f(x)1的n个两两不同的整数根为C1,c2,...,q1,则有
Key Words: Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials
不同域上的不可约多项式
1
一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理
论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对
5.1
定理5[1](Eisenstein判别法) 设f (x)=a°• ajx•111•an」xn‘ ax"是
一个整系数多项式，如果存在素数p使得
(1)p|ao,p|a1,|[|, p an4；
(2)p|an；
2
⑶p I ao
那么f(x)在Q上不可约
证明：若f(x)在有理数域上可约，则f(x)在Z上可约，即存在整系数 多项式
不同域上的不可约多项式
学生承诺
我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规 范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点， 不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违 规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。
学生（签名）：
年 月 日
指导教师承诺
我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪 守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和 引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、 篡改实验数据的现象。
5
一般地对f(X)•Z(x)，常作变换ay b,则f (x)二f (ay b^ f (y),很显然f(x)与g(y)在Q[x]上具有相同的可约性.
有时候对于某个多项式不能直接应用Eise nstein判别法，可以把它进
行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P是一个素数，多项式f(x)=xp*■ xp^ x1叫做一个分 圆多项式，证明f(x)在Q[x]中不可约。
指导教师（签名）：
年 月 日
1、前言0
2、因式分解定理及唯一性定理0
3、复系数多项式0
4、实系数多项式1
5、有理系数多项式1
5.1艾森斯坦(Eisenstein)判别法1
5.2艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的变式2
5.3艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的等价定理3
5.4多项式的复根与其不可约性4
数多项式，且f(x)无有理根存在，如有整数P使得
2
1)P|a。,P |ag;
2)P|a1，p|a2」ll, p|an,；
3)p | an4
则f (x)在整数环上一定不可约
证明：这里仅考虑f (x)为本原多项式的情形反设f (x)在整数环上可约， 其分解式为：f(x)=(b£ +b|斗卅%)(CmXm+cm4Xm4+|||+c0)