第4讲 整式方程和分式方程(讲义)解析版

第4讲 整式方程和分式方程
模块一：整式方程 知识精讲1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这
样的方程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为:0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．
n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；
n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方
程没有实数根．
2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．
3．了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．
4．整式方程和分式方程统称为有理方程．
例题解析
例1.下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（
）
A ．343x y -=
B ．24x -
C ．
32
2
x x =
- D ．22350x x --=
【难度】★ 【答案】D
【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程．
【总结】考察一元整式方程的概念．
例2.判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?
① 23270x a x +-=； 321
40(0)x x a b a b
+-
=+≠+； ③1
3(0)1
x x x +
=≠-；
④； ⑤2
1
3502
m xm x ⋅+-=-；
35270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★
【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．
【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；
【总结】考察一元整式方程的概念． 例3（松江2018期中6）二项方程5
11602
x -=的实数根是 . 【答案】2x =；
【解析】由二项方程
5
11602
x -=得532x =，所以2x ==. 例4（崇明2018期中12）关于x 的方程2
1a x x +=的解是 .
【答案】2
1
1
x a =
+； 【解析】由21a x x +=得2
(1)1a x +=，因为210a +≠，故21
1
x a =
+. 例5 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2
210x kx +-=是二项方程，k= .
【答案】0；
【解析】如果关于x 的方程2
210x kx +-=是二项方程，那么0k =.
例6（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ．
【答案】b ＞0；
【解答】解：根据题意得b ≠0，2
2x b =
，当2
0b
>时，方程有实数解，所以b ＞0． 例7.（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；
（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★
【答案】（1）1a =-（2）3k =
【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，
． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．
例8.若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m ≤；
B ．0m <；
C ．0m ≥；
D ．0m >；
【难度】★ 【答案】D
【解析】因为42x m =-，所以41
2
x m =-，若方程没有实数根，则0m >．
【总结】考察二项偶次方程有解的情况．
例9.关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．1个或2个
D ．不确定
【难度】★★ 【答案】D
【解析】当0m =时，方程化为1
4104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二
次方程，160m =+≥，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定．
【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论． 例10.如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32
x km
kx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是
1
2
，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216
m n ==
，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12
x =
代入得：()1
41682k km n -=--，
整理得：()13282m k n -=
-，若k 为任意实数，则13
216
m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用． 例11.解下列方程：
（1）42416x x =；
（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；
（4）22(1)1x x x +--=．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）1211x x =-=，；
（3）123433
0322
x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．
【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2
220x x x +-=，
解得原方程的解为：；
（2）由4220x x +-=，得：，即， 解得原方程的解为：1211x x =-=，；
（3）由222(231)22331x x x x -+=-+，
得：()()()2
22223223111231x x x x x x -+-+=-+，
即，
分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，
解得原方程的解为：123433
0322x x x x ====-，，，；
（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论：
①当20x +=时，解得：12x =-；
②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，；
③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．
【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论． 例12.解下列方程：
（1）； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★
【答案】（1）当2a ≠±时，1
2
x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解；
（2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解， 当1a ≠±时，，21
1
a x a +=
-． 【解析】解：（1）由，得：()
242a x a -=-，
故当240a -≠时，即2a ≠±，1
2
x a =
+；当240a -=时，
（1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；
综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：，
即，
当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解； 当1a ≠±时，，21
1
a x a +=
-． 【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论． 例13.解下列方程：
（1）222(2)0x x --=；
（2）；
（3）． 【难度】★★
【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）；
（3）．
【解析】解：（1）由222(2)0x x --=，
得：，
即，
故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，； （2）由，得：，
2350x x ∴+-=或2
370x x ++=，
当2350x x +-=，12x x =
=当2370x x ++=，0<，方程无解． 所以原方程的解为：；
（3）由， 得：，
即()()
22545610x x x x +++++=，
所以， 即2550x x ++=， 解得原方程的解为：．
【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．
例14.关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：
（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★
【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．
【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，
（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43n
x m
+=
-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解；
（3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论． 例15.解下列方程：
（1）（0a b <<）；
（2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★
【答案】（1）x =（2）．
【解析】（1）因为，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则，
因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，
所以原方程的解为：x =
（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以，
则30ax b -=或30bx a -=，3ax b =或3bx a =，0ab ≠，00a b ≠≠，，
原方程的解为：．
【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．
例16.已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★
【答案】a 的值为13610，，，
． 【解析】（1）将原方程变形为，显然20x +≠，即2x ≠-．
()
()
2
262x a x +∴=
+，a 是正整数，1a ∴≥，即，
()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．
方程至少有一个整数根，当x 可取431012---，，，
，，时，
故对应的a 的值为14
1610319，，，，，，
a 是正整数，a ∴的值为13610，，，
． 【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．
模块二：分式方程 知识精讲
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
例题解析
例1.（静安2019期末1）下列方程中，是分式方程的为（ ）
A.1
2x -=1=； C.10x -=；1=. 【答案】C ；
【解析】A 、分母中不含未知数，故A 不是分式方程；B 而不是有理式，故B 不是分式方程；C 、分母中含未知数的有理方程，因此C 是分式方程；D 、左边是无理式，故D 不是分式方程；因此答案选C.
例2.（浦东一署2018期中4）用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u 和
v 的整式方程组（ ）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】解：用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u 和v 的整式方程组为，故选：B ．
例3.（金山2018期中13）分式23x x -和33x
x
-的值相等，那么x= .
【答案】03x =-或；
【解析】依题得：2333x x
x x
=--，转化为整式方程得：230x x +=，解得03x =-或. 经检验03x =-或都是原方程的根，故03x =-或. 例4.（静安2019期末10）方程的根是 . 【答案】1x =；
【解析】解：去分母，得21x =，所以1x =±，经检验1x =-是增根，故原方程的解是1x =. 例5. （黄浦2018期中10）方程的增根是______. 【答案】x=3
【解析】解：两边都乘以x-3，得：x=2（x-3）+3， 解得：x=3， 检验：当x=3时，x-3=0， 所以x=3是原分式方程的增根， 故答案为：x=3．
例6.（嘉定2019期末12）如果2x =是关于x 的方程的增根，那么实数k 的值为 . 【答案】4；
【解析】去分母得2
24x k x +=+-，将2x =代入得4k =.
例7.（金山2018期中10）用换元法解分式方程时，如果设2
x y x
-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 . 【答案】2
30y y --=；
【解析】因为
2x y x -=，则分式方程2312x x
x x --=-可化为：31y y
-=，转化为整式方程为：2
30y y --=.
例8．（浦东四署2018期中12）用换元法解方程021
3122=+---x x x x ，并设21
x y x -=，
那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ． 【答案】2230y y +-=；
【解析】因为21x y x -=，所以原方程可化为3
20y y -+=，得2230y y +-=.
例9. （松江2019期中15）用换元法解方程2
21231
x x x x -+=-时，如果设21x y x -=时，则
原方程可以化成关于y 的整式方程是_______________. 【答案】y ²-3y+2=0
【解析】解：∵221231x x x x -+
=-，21
x y x -=，23y y
∴+=，去分母得：y ²-3y+2=0. 故答案为：y ²-3y+2=0.
例10．（青浦2018期末12）已知方程，如果设21
x
y x =+，那么原方程可以变形为关于y 的整式方程为 ． 【答案】23310y y +-=；
【解析】解：方程221131
x x
x x +-=+，
因为21x y x =+，所以，两边都乘以3y ，得23310y y +-=. 故答案为：23310y y +-=.
例11．（闵行2018期末10）已知方程，如果设2
1
x
y x =+，那么原方程可以变形为关于y 的整式方程是 ． 【答案】23610y y +-=；
【解析】解：设
2
1x
y x =+，原方程变形为：123y y
-=，化为整式方程为：23610y y +-=. 例12.（静安2019期末11）已知方程，如果设，那么原方程可以变形成关于y 的方程
为 . 【答案】2
230y
y --=；
【解析】由
2311x y x -=+，原方程可化为：32
y y
-=，所以2230y y --=. 例13.（松江2018期中19）解方程：2232(1)mx x m -=+≠
【答案】当1m <时，原方程无实数解； 当1m >时，所以x =
【解析】解：移项，得：2223mx x -=+，化简得：2
(1)5m x -=，2511
m x m ≠∴=
-. 当10m -<时，2
501x m =
<-，所以原方程无实数解； 当10m ->时，25
01
x m =>-，
所以1x =
=，2x = 故当1m <时，原方程无实数
解； 当1m >时，所以x =例14．（静安2018期末21）解方程：. 【答案】x 1＝2，x 2＝﹣1；
【解答】解：原方程化为，方程两边都乘以（x +3）（x ﹣1）得：x ﹣1﹣（x +3）（x ﹣1）＝﹣2x ，x 2﹣x ﹣2＝0，解得：x ＝2或﹣1，检验：当x ＝2时，（x +3）（x ﹣1）≠0，所以
x ＝2是原方程的解，当x ＝﹣1时，（x +3）（x ﹣1）≠0，所以x ＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为：x 1＝2，x 2＝﹣1． 例15.（崇明2018期中21）
2(1)
11x x x x
--=-. 【答案】1212,2
x x ==
； 【解析】解：方程两边同乘以(1)x x -，得22
2(1)(1)x x x x --=-，整理得：
22520x x --=，解此方程得：1212,2x x ==
，经检验：121
2,2
x x ==都是原方程的根；所以原方程的根是
1212,2x x ==
.（也可用换元法求解，设
1
x
y x =-） 例16. （浦东2018期末19）解方程：． 【答案】x =9；
【解析】解：去分母得：7x =x -6+2（x -6）（x +1），整理得：x 2-8x -9=0，解得：x 1=9，x 2=-1，
经检验x =9是分式方程的解，x =-1是增根，则原方程的解为x =9． 例17.（松江2018期中22）解方程：. 【答案】1335
x x =-=-
或； 【解析】解：设
21
x
y x =+，则原方程变形为2230y y --=. 解之得121,3y y =-=， 132121x x x x ∴
=-=++或，解得1335x x =-=-或，经检验：13
35
x x =-=-或都是原方程的解. 所以原方程的解是13
35
x x =-=-或.
例18.解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）12012x x ==-，；
（2）无解． 【解析】（1）由，得：，
即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，，
经检验：12012x x ==-，是原方程的解，
所以原方程的解为12012x x ==-，；
（2）由，得：
()()
111
1331x x x -=--，
即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，
所以原方程无解．
【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．
例19.解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）设，则，解得：，
1112x y x y
⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，11
2x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：是原方程组的解， 原方程的解为；
（2）设，则， 解得：，
11
6
1112
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，， 经检验：是原方程组的解， 所以原方程的解为：．
【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验． 例20.若方程有增根，求b 的值． 【难度】★★
【答案】1b =±
或2b =-
【解析】，去分母得()2221210x b x b -++-=，
方程有增根，（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±；
（2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-
综上所述，1b =±或2b =-
【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值． 例21.解方程：34x
x x x
-
= 【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，4
3x x
-
=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，
0x >，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解；
当0x <时，4
3x x
+
=，去分母，得，方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．
【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论． 例22.解方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-
；（2）124
03
x x ==，． 【解析】（1）由，得，
即
()()()()11
5678x x x x =++++，所以，
去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：13
2
x =-
， 经检验：132x =-
是原方程的解， 原方程的解为132
x =-； （2）由，得， 即，，
即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，
解得：12403x x ==
，，经检验：124
03
x x ==，是原方程的解， 原方程的解为124
03
x x ==
，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结． 例23.解下列方程：
（1）； （2）； （3）． 【难度】★★★
【答案】（1）12122x x ==
，，3432
23
x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3），3481x x =-=，．
【解析】（1）设1
x a x
+
=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即，解得：，
当52
a =
时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：121
22x x ==，；
当136
a =
时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：3432
23x x ==，；
经检验：12122x x ==
，，3432
23
x x ==，是原方程的解， 原方程的解为12122x x ==
，，3432
23
x x ==，； （2）原方程变形为，
整理得：，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，，
经检验12211x x ==-，是原方程的根，原方程的解为12211x x ==-，；
（3）令228x x y +-=，原方程可化为， 解得：9y x =或5y x =-，
当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，；
当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，；
经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，
原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．
【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结． 例24.已知关于x 的方程有增根，求a 的值． 【难度】★★★
【答案】3
2
a =-或2a =-．
【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，
当1x =时，221a +=-，解得：3
2a =-；当2x =时，解得：2a =-，
综上所述：当3
2
a =-或2a =-时，x 的方程有增根．
【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．
例25.当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)
x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★
【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．
【解析】原方程可化为，
（1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，方程只有一个实数根，0∴=，
即8280a =--=，7
2
a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；
（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-； 此时原方程为，
去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；
（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-； 此时原方程为
()
228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解， 4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．
综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．
【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论． 例26.解已知关于x 的方程
（1）求a 的取值范围，使得方程有实数根； （2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；
（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且，求a 的值．
【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-
且1a ≠±（2）5328
a =-或1a ≠±；（3）128
103a a ∴=-=，．
【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；
当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设
1
x
y x =-， 原方程可以化为，，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-
且1a ≠±， 综上所述：53
28
a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=，53
28
a ∴=-
； （3）令12121211x x y y x x =
=--，，则123
11
y y +=，即， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128
103
a a =-=解得：，．
【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．
随堂检测
1.在方程：①，②213014000x x +-=，③
3
132
x x +=， ④中，是分式方程的有（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
【难度】★
【答案】D
【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义． 2.下列方程中，有实数根的是（
）
A ．220x x -+=
B ．410x -=
C ．40n x +=
D ．
【难度】★ 【答案】B
【解析】.0A <，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．
【总结】考察方程有无实数根的分类讨论． 3.下列方程中，不是二项方程的为（ ）
A ．51x =；
B ．6x x =
C ．31
309
x +
= D ．4160x +=
【难度】★ 【答案】B
【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)
【总结】考察二项方程的定义．
4.（1）若分式的值为0，则x 的值等于__________； （2）若分式无意义，当时，则m =__________． 【难度】★
【答案】（1）2；（2）3
7
m =
．
【解析】（1）由， 得：，2x ∴=；
（2）若分式无意义，10x ∴-=，即1x =；， 去分母，得730m -=，解得：3
7
m =
． 【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法． 5.（1）用换元法解方程22
2
212x x x x
-+=-时，如设，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________；
（2）若关于x 的方程无解，则m =__________． 【难度】★
【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．
【解析】（1）原方程可转化为()22
1
2212x x x x
⋅--=-，2
1
2y x x
=
-， 方程转化为分式方程为1
210y y
-
-=，去分母化为整式方程为：2210y y --=； （2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 6.解下列方程：
（1）3(2)80x ++=；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）4x =-；（2）．
【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()3
28x +=-，解得：4x =-； （2）由，得：
，解得：． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个． 7.解下列方程：
（1）3244160x x x --+=；
（2）；
（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★
【答案】（1）；（2）1252
33
x x =-=-，；
（3）12341
122
x x x x ====
，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，
即，解得原方程的解为：；
（2）由，得：，
所以()2
6790x +-=，即673x +=±，
故原方程的解为：125233x x =-=-，；
（3）原方程可变形为：， 即， 所以，， ， 即，
解得原方程的解为12341
122
x x x x ====
，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析． 8.解下列方程： （1）；
（2）2(3)40m y y -+=．
【难度】★★
【答案】（1）x a b =+；（2）124
0(3)3y y m m
==
≠-，此时．
【解析】（1）原方程可变形为：， a b ≠，0a b ∴-≠，()()
a b a b x a b
+-∴=
-，x a b ∴=+；
（2）原方程可变形为：，
当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=； 当30m -≠，即3m ≠时，124
03y y m
==-，， 综上所述：124
0(3)3y y m m ==
≠-，此时
【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论． 9.解下列分式方程： （1）；
（2）；
（3）； （4）． 【难度】★★
【答案】（1）；（2）1y =-；
（3）12233x x =-=，；（4）129
12x x ==-，．
【解析】（1）去分母，得：，
化简，得：，2324280x x +-=， 解得：，
经检验：是原方程的解， 所以原方程的解为；
（2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，
经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；
（3）去分母，得：()()
()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=，
解得：12233x x =-=，，经检验：122
33x x =-=，是原方程的解，
所以原方程的解为：122
33x x =-=，；
（4）原方程变形为：， 即，
去分母得： 所以，
即 ，解得：129
12
x x ==-，
经检验：129
12x x ==-，是原方程的解，
原方程的解为129
12
x x ==-，．
【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根． 10.当a 为何值时，方程有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．
【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，当1a =时，方程有增根．
【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值． 11.解下列分式方程：
（1）11
11
x a x a +
=+
--（a 为已知数）； （2）； （3）．
【难度】★★★
【答案】（1）121a x a x a ==
-，；（2）；（3）92
x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()11
1111
x a x a -+
=-+
--， 11x a ∴-=-或111x a -=
-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121
a
x a x a ==
-，是原方程组的解， 原方程组的解为121
a
x a x a ==
-，； （2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为， 由，得：
2
25
a =--，解得：4a =， 将4a =代入()1得：0
b =，4
0x y x y +=⎧∴⎨-=⎩
，解得：
经检验：是原方程组的解， 原方程组的解为； （3）原方程可化为，则， 即， 去分母，得：，
解得：92x =-，经检验9
2x =-是原方程的根，
所以原方程的解为：9
2
x =-．
【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验． 12.若关于x 的方程
221
11
x m x x x x --=+
--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★ 【答案】7
4
m <
或2m = 【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，原方程无实数根，则
（1）()1420m =--<，即74
m <
； （2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =， 综上所述：当7
4
m <
或2m =时，原方程无实数根． 【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．
13.已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ．
【难度】★★★ 【答案】7k =或13
3
k =
或4k = 【解析】原方程可化为：，
即 ，
()()350k k --≠，1242
35
x x k k ∴=-
=-
--，， 12
42
35k k x x ∴-=-
-=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，．
12x x ，都是整数，，，，
解得：，，（舍去）， 解得：7k =或133k =
或4k =；经检验，7k =或13
3
k =或4k =满足分式方程的解， 综上所述：7k =或13
3
k =
或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．。