第4讲 整式方程和分式方程(讲义)解析版

第4讲 整式方程和分式方程

模块一：整式方程 知识精讲1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这

样的方程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为:0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．

n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；

n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方

程没有实数根．

2．一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．

3．了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．

4．整式方程和分式方程统称为有理方程．

例题解析

例1.下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（

）

A ．343x y -=

B ．24x -

C ．

32

2

x x =

- D ．22350x x --=

【难度】★ 【答案】D

【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程．

【总结】考察一元整式方程的概念．

例2.判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?

① 23270x a x +-=； 321

40(0)x x a b a b

+-

=+≠+； ③1

3(0)1

x x x +

=≠-；

④； ⑤2

1

3502

m xm x ⋅+-=-；

35270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★

【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．

【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；

【总结】考察一元整式方程的概念． 例3（松江2018期中6）二项方程5

11602

x -=的实数根是 . 【答案】2x =；

【解析】由二项方程

5

11602

x -=得532x =，所以2x ==. 例4（崇明2018期中12）关于x 的方程2

1a x x +=的解是 .

【答案】2

1

1

x a =

+； 【解析】由21a x x +=得2

(1)1a x +=，因为210a +≠，故21

1

x a =

+. 例5 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2

210x kx +-=是二项方程，k= .

【答案】0；

【解析】如果关于x 的方程2

210x kx +-=是二项方程，那么0k =.

例6（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ．

【答案】b ＞0；

【解答】解：根据题意得b ≠0，2

2x b =

，当2

0b

>时，方程有实数解，所以b ＞0． 例7.（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；

（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★

【答案】（1）1a =-（2）3k =

【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，

． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．

例8.若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）

A ．0m ≤；

B ．0m <；

C ．0m ≥；

D ．0m >；

【难度】★ 【答案】D

【解析】因为42x m =-，所以41

2

x m =-，若方程没有实数根，则0m >．

【总结】考察二项偶次方程有解的情况．

例9.关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．1个或2个

D ．不确定

【难度】★★ 【答案】D

【解析】当0m =时，方程化为1

4104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二

次方程，160m =+≥，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定．

【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论． 例10.如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32

x km

kx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是

1

2

，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216

m n ==

，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12

x =

代入得：()1

41682k km n -=--，

整理得：()13282m k n -=

-，若k 为任意实数，则13

216

m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用． 例11.解下列方程：

（1）42416x x =；

（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；

（4）22(1)1x x x +--=．

【难度】★★

【答案】（1）； （2）1211x x =-=，；

（3）123433

0322

x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．

【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2

220x x x +-=，

解得原方程的解为：；

（2）由4220x x +-=，得：，即， 解得原方程的解为：1211x x =-=，；

（3）由222(231)22331x x x x -+=-+，

得：()()()2

22223223111231x x x x x x -+-+=-+，