高三数学模拟题(含答案)

数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将XX、XX号、考
试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：球的表面积为： 2
S4R,其中R为球的半径．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.i是虚数单位，复数
2i
1i
的实部为
A．2B．2C．1D．1
2.设全集UR，集合 2
Mx|ylg(x1)，Nx|0x2，则N(e U M)
A．x|2x1B．x|0x1C．x|1x1D．x|x1
3.下列函数中周期为且为偶函数的是
A．ysin(2x)B.ycos(2x)C.ysin(x)D．ycos(x)
2222
4.设S n是等差数列a n的前n项和，a12,a53a3,则S9
A．90B．54C．54D．72
5.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若lm,ln,且m,n,则l
B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
//
正视图左视图
-1-
俯视图
C．若m,mn，则n//
D．若m//n,n，则m
6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的
表面积是
A．16B．14C．12D． 8
7.已知抛物线错误！未找到引用源。

的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，错误！未找到引用源。

，垂足为A，PF4，则直线AF的倾斜角等于
A．错误！未找到引用源。

B. 2
3
C．错误！未找到引用源。

D.
5
6
8.若两个非零向量a，b满足|a b||ab|2|a|，则向量ab与ba的夹角为
A．B．C．
63 2
3
D．
5
6
9.已知函数
f(x) x,x0
2
xx,x0
，若函数g(x)f(x)m有三个不同的零点，则实数m的
取值X围为
A．
1
[,1]
2
B．
1
[,1)
2
C．
1
(,0)
4
D．
1
(,0]
4
10.已知f(x)|x2||x4|的最小值为n，则二项式1
(x)
x
n
展开式中 2 x项的系数为
A．15B．15C．30D．30
11.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4x)，且当x2时其导函数f(x)满足xf(x)2f(x),若2a4则
aa
A．f(2)f(3)f(log2a)B．f(3)f(log2a)f(2)
aa
C．f(log2a)f(3)f(2)D．f(log2a)f(2)f(3)
12.定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2)[3,5)的长度d(21)(53)3.用[x]表示不超过
x的最大整数，记{}xx[x]，其中xR.设f()x[]x{x}，g x()x1，当0xk
时,不等式f(x)g x()解集区间的长度为5，则k的值为
A．6B．7C．8D．9网
-2-
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.某程序框图如右图所示，若a3,则该程序运行后，
输出的
x值为; 开始
a 1
1
(2x)dx3ln2(a1)，则a的值
x
14.若
n1,xa
是;
224
xy
nn1
是
15.已知x,y满足约束条件xy20
,则目标函数n3x2x1
y0
否
z2xy的最大值是;
x
输出
16．给出以下命题：
结束
①双曲线
2
y
2
21
x的渐近线方程为y2x；
②命题p:“+
xR，
1
sinx2
sinx
”是真命题；
③已知线性回归方程为y?32x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)0.2，则P(10)0.6；
⑤已知
26
2464
2 ，
53
5434
2 ，
71
7414
2 ，
102
10424
2 ，
依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
n8n
n4(8n)4
2 ，（n4）
则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知函数f(x)sinx(0)在区间[0,]
3 上单调递增,在区间
2
[,]
33
上单调递减;如图,
四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足
sin B
sin sin
A
C
4
3
cosBcosC
cosA
. C
（Ⅰ）证明：bc2a；
B （Ⅱ）若bc，设AOB，
OA-3-
(0),OA2OB2，
求四边形OACB面积的最大值.
18．（本小题满分12分）
1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编
现有长分别为
号），从中随机抽取n根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,1n9），再将抽取的钢管
相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当n3时,记事件A{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)；
（Ⅱ）当n2时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；
②令21，E()1，XX数的取值X围．
19．（本小题满分12分）
ABCDBCD中，四边形ABCD为菱形，BAD60，ABa，如图，几何体
111
面B CD∥面ABCD,BB1、CC1、DD1都垂直于面
111
D
1 1
C
B ABCD,且BB12a，E为CC1的中点，F为AB
1
的中点.E
（Ⅰ）求证：D B1E为等腰直角三角形；
D
C （Ⅱ）求二面角B DEF的余弦值.
1
A
BF
20．（本小题满分12分）
n
3(1)
已知nN,数列d n满足d,数列a n满足a n d1d2d3d2n；又知
n
2
数列b n中，b12，且对任意正整数m,n，mn
b n b.
m
（Ⅰ）求数列a n和数列b n的通项公式；
（Ⅱ）将数列b n中的第．a1项，第．a2项，第．a3项，⋯⋯，第．a n项，⋯⋯删去后，剩余的项
-4-
按从小到大的顺序排成新数列c n，求数列c n的前2013项和.
21．（本小题满分13分）
x
已知向量m(e,lnxk)，n(1,f(x))，m//n（k为常数，e是自然对数的底数），曲
x
线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)xef(x)．
（Ⅰ）求k的值及F(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 2
g(x)x2ax(a为正实数),若对于任意x2[0,1]，总存在x1(0,)，
使得g(x2)F(x1)，XX数a的取值X围．
22．（本小题满分13分）
已知椭圆C:
22
xy
221(ab0)
ab
的焦距为23,离心率为
2
2
,其右焦点为F,过点
B(0,b)作直线交椭圆于另一点A . (Ⅰ)若ABBF6,求ABF外接圆的方程;
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆N:
22
xy
22
ab
1
3
相交于两点G、H，设P为N上一点，且
满足OGOHtOP（O为坐标原点），当
25 PGPH时，XX数t的取值X围.
3
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数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
CBACDABBCACB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
-5-
13.3114.215.2516．①③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知：24
3
，解得：
3
2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
sinBsinC2-cosB-cosC
sinAcosA
sinBcosAsinCcosA2sinA-cosBsinA-cosCsinA sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA2sinA
sin(AB)sin(AC)2sinA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分sinCsinB2sinAbc2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）因为bc2a，bc，所以abc，所以△ABC为等边三角形
13
2 SSSOAOBsinAB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
OACBOABABC
24
3
22
sin(OAOB-2OAOBcos)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
4
sin-3cos 53
4
53
2sin(-)
34
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
(0，),
2 -(-，)，
333
当且仅当-
32 ，即
5
6
时取最大值,S OACB的最大值为 2
53
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)事件A为随机事件，
P(A)
121
CCC
336
3
C
9
9
14
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（Ⅱ）①可能的取值为2,3,4,5,6
P(2)
2
C
C
3
2
9
1
12
P(3)
11
CC
33
2
C
9
1
4
P(4)
211
CCC
333
2
C
9
1
3
P(5)
11
CC
33
2
C
9
1
4
-6-
P(6)
2 C C
3 2 9
1
12
∴的分布列为：
23456
P
1
12
1 4
1 3
1 4
1 12
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
②
11111
E()234564⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1243412
2
1，E()2E()1421
E()1，
2
1 4110
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 19．（本小题满分12分）
解：（I ）连接B D ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，BAD60，所以BDa 因为BB 1、CC 1都垂直于面
z
ABCD ,BB 1//CC 1，又面B 1C 1D 1∥面
D
1
C
1
ABCD ,BC//B 1C 1
B 1
所以四边形BCC 1B 1为平行四边形,则
H
E
BCBCa ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
11
D
C
O
因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ,则
2222
DB 1DBBB 1a2a3a
x A B
F
y
2222
a6aDEDCCEa
22
2
222
a6a
BEBCCEa ⋯4分
1111
22
所以
22
6a6a
2222
DEBE3aDB
11
4
所以DB1E为等腰直角三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
-7-
（II ）取DB 1的中点H ，因为O ,H 分别为DB,DB 1的中点，所以OH ∥BB 1 以OA,OB,OH 分别为x,y,z 轴建立坐标系，
a32a3a
则1
D(0,,0),E(a,0,a),B(0,,2a),F (a,,0)
222244
所以
3a233 DB(0,a,2a),DE(a,,a),DF(a,a,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
1
22244
设面 D BE 的法向量为n 1(x 1,y 1,z 1)，
1
3a2 则n 1DB 10,n 1DE0，即ay 12az 10且111
axyaz
222
令 z 11，则n 1(0,2,1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
设面DFE 的法向量为n 2(x 2,y 2,z 2)， 333a2
则n 2DF0,n 2DE0即ax 2ay 20且ax 2y 2az 2
44222
令
326
x 21，则n 2(1,,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
33
626
22 33
则12
cosn,n ,则二面角B 1DEF 的余弦值为
22
18 31
33
⋯12分
20．（本小题满分12分）
解：
n
3(1)
d ,a n d 1d 2d 3d 2n
n
2
32n 2
3n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
又由题知：令m1，则
2233nn
b 2b 12,b 3b 12bb 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
n
nmnmnmn
若b2，则b2，b2，所以
nnm
mn
bb 恒成立
nm
n
若b2,当m1,
n
mnn bb 不成立,所以b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
nmn
（Ⅱ）由题知将数列b n 中的第3项、第6项、第9项⋯⋯删去后构成的新数列c n 中的奇 数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是
b 12，b 24公比均是8,⋯⋯⋯⋯9分
T 2013(c 1c 3c 5c 2013)(c 2c 4c 6c 2012)
100710061006
2(18)4(18)2086
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18187
-8-
21．（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：f(x)= 1nxk
x
e
f(x)
1
x
lnxk
x
e
，
由已知， f
1k
(1)0
e
，∴k1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x
F(x)xef(x)
1
x(lnx1)1xlnxx
x
所以F(x)lnx2⋯⋯⋯⋯3分
由F(x)lnx200x 1
2
e
，
由F(x)lnx20x 1 2 e
F(x)的增区间为
1
(0,]
2
e
，减区间为
1
[,)
2
e
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（II）对于任意x2[0,1]，总存在x1(0,)，使得g(x2)F(x1)，g(x)F(x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分maxmax
由（I）知，当x 1
2
e
11
时，F(x)取得最大值F(2)12
ee
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
对于 2
g(x)x2ax，其对称轴为x a
当0a1时， 2
g(x)g(a)a，
max
2
a 1
1
2
e
，从而0a1⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
当
a1时，g(x)g(1)2a1，2a11
max 1
2
e
，从而1a1
1
2
2e
⋯⋯12分
综上可知：0a1
1
2
2e
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：c3，e c
a
2
2
，又222
abc，
解得：a6,b3椭圆C的方程为：
22
xy
63
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
可得：B(0,3)，F(3,0),设A(x0,y0)，则A B(x0,3y0)，BF(3,3)，ABBF6，3x03(3y0)6，即y0x03
由
22
xy
00
63
yx
00
1
3
x
y
3
，或
x
y
43
3
3
3
即A(0,3)，或
433
A(,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
33
-9-
①当A
的坐标为(0,3)时，OAOBOF3，ABF 外接圆是以O 为圆心
，3 为半径的圆，即 223
xy ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ②当A 的坐标为
433
(,)
33
时，k AF 1，k BF 1，所以ABF 为直角三角形，其外接圆
是以线段A B 为直径的圆，圆心坐标为
2323 (,) 33
，半径为 115
AB ，
23
ABF 外接圆的方程为
23235
22
(x)(y)
333
综上可知：ABF 外接圆方程是
22
3
xy ，或
23235
22
(x)(y)⋯⋯7分
333
(Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.
设
G H:yk(x2)， G (x,y)，H(x 2,y 2)，P(x,y)
11
yk(x2)
由2
x 2
2
y
1
得：
2222
(12k)x8kx8k20
由
422
64k4(2k1)(8k2)0得：
21
k （）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2
22
8k8k2
xx,xx
122122
12k12k
25 PGPH ， 3
25 HG 即 3
1 2 kxx
12
25 3
42
64k8k220 2
(1k)[4]
222
(12k)12k9
2
1 k ，结合（）得：
4 11 2
k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
42
OGOHtOP ，(x 1x 2,y 1y 2)t(x,y)
从而
x
2
xx8k 12
2
tt(12k)
，
yy14k
12
y[k(xx)4k]
122
ttt(12k)
点P 在椭圆上，
2
8k4k 22 []2[]2
22
t(12k)t(12k)
，整理得：
222
16kt(12k)
2 即
t8
8
12k 2
，
2
26
t，或
3
26
3
t2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
-10-
1 / 21 -11-。