第二章补充拉氏变换与拉氏反变换

0-
f (t )e st dt
式中，s=σ+jω为复频率。若该定积分在s某一域内收敛， 则由此积分确定的复频域函数可表示为
F (s) f (t )e st dt
0-

F (s) f (t )e st dt
0-

复频域函数F(s)定义为时域函数f(t)的拉普拉斯变 换（简称拉氏变换）或称F(s)为f(t)的象函数 简记成 F(s) = ℒ[f(t)]
①展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化） 若m<n 称有理函数是真分数式 若m>n则 将F(s)分解为一个s多项式和一个真分式之和
P( s) B( s) F (s) A( s) Q( s ) Q( s )
其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一个多项式，其对应的 时间函数是(t)，(1)(t)， (2)(t) 等的线性组合。 B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，则B(s)/ Q(s)为真分式
2
K 2 ( s 2) F ( s) s p
K3 ( s 3) F ( s) s p
2
s 2 3s 5 3 ( s 1)( s 3) s 2
3
s 2 3s 5 2.5 ( s 1)( s 2) s 3
t
sin t 及 e t cos t 的拉氏变换。 s 解 ： ℒ [sin t ] ℒ [cos t ] 2 2 2 s s 2 t 根据频移性质可求得 ℒ [e sin t ] ( s )2 2 s t ℒ [e cos t ] (s )2 2
拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。
拉普拉斯反变换的定义：
1 f (t ) 2j

j
j
F ( S )e st ds
拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部 分分式展开的方法间接求得。（适用于有理式）
设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数。
P(s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 F ( s) Q(s) an s n an1s n1 ... a1s a0
s
（5）终值定理 若ℒ[f(t)] = F(s)，且 lim f (t ) 存在，则 t
f () lim sF ( s )
s 0
利用初值定理和终值定理，可以不经过反变换而直 接由象函数F(s)来确定原函数f(t)的初值和终值。
例2.1.7：
s 已知 F ( s) 求原函数f(t)的初始值f(0+) ( s 1)(3s 2)
解
K3 K1 K2 s 3s 5 F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
2
F(s)的各极点分别为p1 = -1，p2 = 2，p3 = 3
K1 ( s 1) F ( s) s p
1
s 3s 5 1.5 ( s 2)( s 3) s 1
求 f (t 3)1(t 3) 的象函数
解 ： 故根据时移性质，有
F (s)
[ f (t 3)1(t 3)] e
3 s
1 s 1
（7）频移性质
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
ℒ[e f (t ) ]=F(s-α)
拉氏变换的频移性质表明，若原函数乘以指数因子 et,则其象函数应位移（即其图形沿实轴向右移动）。
1
(t)
( n) (t )(n 1，) 2，
1
2
3 4 5
s
1
n
1(t)
tn (n 1， ) 2， n ！
t
1 s
s n 1
e
1 s
1 ( s ) n 1
6
7
t n t e (n 1， ) 2， n ！
sint
s2 2
已知象函数F(s)求对应原函数f(t)的变换，称拉普 拉斯反变换（简称拉氏反变换），其积分公式为
1 j f (t )= F ( s)e st ds 2πj -j
简记为
f(t)=ℒ-1[F(s)]
表2.3 一些常用时间函数的拉氏变换 象函数F(s) 序 号 原函数f(t) (t 0)
12
2Ke
cos(t K )(K K e
)
K K s j s j
2. 拉普拉斯变换定理 （1）线性性质 若ℒ[f1(t)]= F1(s)，ℒ[f2(t)]= F2(s) 则对任意常数a1及a2（实数或复数）有
ℒ[a1f1(t)+a2f2(t)] = a1ℒ[f1(t)]+a2ℒ[f2(t)] = a1F1(s)+a2F2(s)
s p j
s p j
P k j (1) Q
s Pj
拉氏反变换并进行线性组合，可得：
f(t) = ℒ-1[F(s)] =
①极点均为实数情况
n Kj n p jt -1 ℒ s p K je j 1 j j 1
s 2 3s 5 例2.1.12 试求 F ( s) 3 的原函数f(t)。 2 s 6s 11s 6
8 9 10 11
cost
e t sin t
e
t
s s2 2 (s )2 2
s (s )2 2
e t sin t
cos t
(b a )
e t cos t
t

as b (s )2 2
jK
ℒ[ f ( n ) (t ) ] sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f (1) (0 ) f ( n1) (0 )
s n F ( s) s k f ( n1k ) (0 )
k 0
n 1
例2.1.5 试求电容元件电压——电流关系的复频域形式。
对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和 线性性质可得
1 t ℒ [iL] = ℒ [ iL (0 ) 0 u L ( )d ] L 1 t = ℒ [ iL (0 ) ]+ℒ [ uL ( )d ] L 0
i L (0 ) 1 U L ( s) s sL
例2.1.11
s3 5s 2 10s 16 的原函数。 试求F ( s) s3
解：将F(s)真分式化得
s 5s 10s 16 4 2 F (s) s 2s 4 s3 s3
3 2
所以F(s)对应的原函数为
f (t )
(2)
(t ) 2 (t ) 4 (t ) 4e
(1)
3t
设：F(s)为真分式，并将分母多项式Q(s)用因式连乘的 形式来表示，即：
P( s) bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 1 P( s) F ( s) n n n 1 Q( s) an s an 1s ... a1s a0 an ( s p ) j
U R (s) RI R (s)
电阻元件电压电流关系的复频域形式。 它表明，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之 间的关系也服从欧姆定律。
（2）微分定理 若ℒ[f(t)] = F(s)，则
d ℒ[ dt f (t )
]
sF (s) f (0 )
拉氏变换的微分性质表明，时域中的求导运算，对 应于复频域中乘以s的运算，并以f(0-)计入原始值 推广：
2 已知 F ( s) 求原函数f(t)的终值f() s( s 1)(3s 2)
解 ： 根据初值定理
f (0 ) lim sF (s) lim
s s
根据终值定理
1 1 5 2 3 3 2 s s
2 f () limsF ( s) lim 1 s 0 s 0 ( s 1)(3s 2)
（3）积分定理 若ℒ[f(t)] = F(s)，则
1 ℒ[ 0 f ( )d ] s F ( s ) 拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算， 对应于复频域中除以s的运算

t
例2.1.6 试求电感元件电压——电流关系的复频域形式。
解：在时域中线性非时变电感元件
1 t iL iL (0 ) uL ( )d L 0
解 ：矩形脉冲f(t)可表示为
f (t )
A
O
f (t ) A[1(t a) 1(t b)]
a
b
tБайду номын сангаас
故根据时移性质，有
f (t )
A
O
F ( s ) ℒ[f (t ) ]
a
b
t
A as A ℒ [1(t a) 1(t b)] (e e bs ) s t 例2.1.9 已知 f (t )1(t ) e 1(t )
F(s)的极点均为单极点时， F(s)的部分分式展开式为
n Kj Kn K1 K2 P(s) F ( s) Q(s) s p1 s p2 s pn j 1 s p j
Kj(j=1，2，…，n)为待定常数 方法一 方法二
K j lim(s p j ) F (s) (s p j ) F (s)
2-1拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
1 拉普拉斯变换及其性质 2 拉普拉斯反变换
本节要介绍的拉普拉斯变换方法是研究线性非时变 动态电路的基本工具。采用拉普拉斯变换的分析方法， 称为复频域分析，即s域分析。 1.拉普拉斯变换 （1）拉普拉斯变换的定义 设时域函数f(t)在区间 [0，∞ )内的定积分为
j 1
pj(j=1，2，…，n)为方程Q(s)=0的根，称为Q(s)的零点。 当spj时，F(s)，所以pj也称为F(s)的极点。 若pj是多项式Q(s)的单根，则称pj为F(s)的单极点。 如果 pj(j＝1，2，…，r)是Q(s)的r重根，则称pj为F(s)的r 阶极点。
（1） 单极点有理函数的拉氏反变换
电感元件的复频域形式为：
i L (0 ) 1 I L ( s) U L (s) s sL
从微分和积分性质可看出，在应用拉氏变换时，直 接用时域中的0-时的原始值，而不必考虑0+时的初始值。
（4）初值定理
若ℒ[f(t)] = F(s)，且 lim sF ( s) 存在，则 s
f (0 ) lim sF ( s)
duC 解：在时域中线性非时变电容元件 iC C dt
对电容电压、电流进行拉氏变换，并根据微分性 质和线性性质可得
duC duC ℒ [iC] = ℒ C [ ] = Cℒ [ dt dt
] = C[sUC(s)-uC(0-)]
则电压——电流关系的电容元件的复频域形式为
IC (s) sCUC (s) CuC (0 )
例2.1.10 试求e
t
（8）卷积定理
若ℒ[f1(t)]= F1(s)，ℒ[f2(t)]= F2(s)，且t 0时f1(t) = f2(t) = 0则
ℒ[f1(t)f2(t)] = F1(s)F2(s)
卷积定理表明，时域中两原函数的卷积，对应于复 频域中两象函数的乘积。
3．拉普拉斯反变换
即拉氏变换满足齐次性和可加性。 应用：
i
k 1
k k 1
k
k
(t ) 0
(t ) 0
I
k 1
k
k
( s) 0
u
k
U
k 1
k
k
( s) 0
例2.1.4 试求电阻元件电压电流关系的复频域形式。
解:时域中线性电阻元件
uR RiR
对电阻电压、电流进行拉氏变换，并由线性性质可得 ℒ [uR] = ℒ [RiR] = Rℒ [iR]
（6）位移定理
若ℒ[f(t)] = F(s)，则
ℒ[f(t-)] = e s F(s)
拉氏变换的时移性质表明，若原函数在时间上推迟 (即其图形沿时间轴向右移动 )，则其象函数应乘以延 时因子e-s 例2.1.8 图示单个矩形脉冲波形f(t)，其幅度为A，试求f(t) 的拉氏变换F(s)。