第六章 方差分析与正交试验设计(4)

F0.05 (1,3) 10.13
故因素 A、B 对试验结果的影响是高度显著的，而因
素 E 对试验结果的影响是显著的。因素 C、D 对试验
结果无显著影响。
例 5 对例 3 花莱留种培育问题的正交试验结果作方差
分析。下表给出例 3 中的表头及经上述公式计算的各
列的偏差平方和。
因素 列号
Sj
A
B A×B C A×C
S D S7 / f7 78.13 /1 78.13 Se
故将 S AB , SD 并入误差平方和 Se 中，得
Se Se SAB SD 703.13 78.13 78.13 859.39
相应的自由度也并入 fe 中，得
fe fe f AB f D 111 3
按例 4 中类似地算出各列的 F 值，分别是
又由于
S D S5 / f5 0.06 /1 0.06 Se
故将 SD 并入误差平方和 Se 中，得
Se Se SD 0.94 0.06 1.00
相应的自由度也并入 fe 中，得 fe fe fD 21 3
由于
FA
S1 / Se /
f1 fe
42.78 /1 128 .1 1.00 / 3
D产
1
2
3
4
5
6 7量
22578.13 17578.13 78.13 1953.13 3828.13 703.13 78.13
由于第 6 列为空白列，其方差 S6 是由随机误差引起的，
因此
Se S6 703 .13, fe 1
Se Se / fe 703 .13
又由于 S AB S3 / f3 78.13 /1 78.13 Se
F0.01(1,3) 34.12
FB
S2 Se
/ /
f2 fe
18.30 /1 54.9 1.00 / 3
F0.01(1,3) 34.12
FC
S4 Se
/ /
f4 fe
1.20 /1 1.00 / 3
3.60
F0.05 (1,3) 10.13
FE
S6 Se
/ /
f6 fe
4.06 /1 12.18 1.00 / 3
Fj
Sj / Se /
fj fe
~ F( f j,
fe )
若 Fj F ( f j , fe) ，则认为该列安排的因素对试验结果影
响显著。否则，认为影响不显著。
例 4 苯酚合成工艺条件试验。某化工厂为提高苯酚的
产率选了合成工艺条件中的 5 个因素 2 个水平作试验，
数据列于下表中。
因素
水平 1 2
在实际应用中，一般先计算出各列的 S j ，若 S j Se ， 就认为第 j 列影响不显著，并把 S j 当做误差平方和与 Se 合并；若有几列都是如此，则把这些列的 S j 加起来当做 误差平方和与 Se 合并在一起作为新的误差平方和 Se ，相 应的自由度 f j 与 fe 合并作为 Se 的自由度 fe ，然后再构造 检验统计量
因此，直观分析法得到的结论不够精确。而且， 对影响试验结果的各因素的重要程度，不能给出精确 的数量估计，也不能提供一个标准来考察、判断因素 对试验结果的影响是否显著。
下面介绍的方差分析法能够弥补这些不足。
若用正交表 Ln (r m ) 安排试验，且每列同水平的试 验次数为 t ，总试验次数为 n ，试验结果为 y1, y2 ,, yn ， 试验结果的总偏差平方和记为
18.5 12.1 2.7 3.1 0.7 5.7 0.5
42.78 18.30 0.91 1.20 0.06 4.06 0.03 ST 67.34
由于第 3 列、第 7 列为空白列，其方差 S3, S7 是由随机 误差引起的，因此
Se S3 S7 0.91 0.03 0.94
fe f3 f7 11 2 Se Se / fe 0.94 / 2 0.47
FA
ຫໍສະໝຸດ BaiduS1 / Se /
f1 fe
22578 .13 /1 78.82 859 .39 / 3
F0.01(1,3) 34.12
FB
S2 / Se /
f2 fe
17578 .13 /1 61.36 859 .39 / 3
F0.01(1,3) 34.12
FC
S4 Se
/ /
f4 fe
1953 .13 /1 6.82 859 .39 / 3
其中
ST
n
( yi
i 1
y)2
n i 1
y
2 i
ny 2
n i 1
yi2
T2 n
y
1 n
n i 1
yi ,
T
n i 1
yi
记
S j
r
t (Kij
i1
y)2
r
t
i 1
Kij 2
1 n
n i1
2 yi
1 t
r i1
Kij 2
T2
n
称为第 j 列因素的偏差平方和，若因素 A 安排 在第 j 列上，也记 SA S j 。可以证明
§6.4 正交试验设计 的方差分析
前面介绍了对正交试验的结果进行直观分析的 方法，其优点是简单、直观、计算量较小，便于普及 和推广，对于生产实际中的一般问题用直观分析法能 够得到很好地解决。但直观分析法不能估计试验过程 中以及试验结果测定中必然存在的误差大小，因而不 能真正区分某因素各水平所对应的试验结果的差异 究竟是由于水平的改变所引起的，还是由于试验误差 所引起的。
A
B
C
D
反应温 反应时间（分） 压力 催化剂种类
度（℃）
（Pa）
300
20
200
甲
320
30
250
乙
E NaOH 用 量（L）
80 100
这是一个 5 因素 2 水平试验，应选用正交表 。表 L8 (27 )
头设计、试验结果见下表。现用方差分析法检验各因
素对试验结果的影响是否显著。
试验号
因素 列号
1 2 3 4 5 6 7 8 K1 j K2 j Rj
Sj
AB
CDE
试验结果
1234567
yi
1111111
83.4
1112222
84.0
1221122
87.3
1222211
84.8
2121212
87.3
2122121
88.0
2211221
92.3
2212112
90.4
339.5 342.7 350.1 350.3 348.4 345.9 348.5 T 697 .5 358.0 354.8 347.4 347.2 349.1 351.6 349.0 y 87.2
m
ST S j j 1
且 ST 与 S j 的自由度分别为 fT n 1, f j r 1 ， A×B 交 互作用列偏差平方和 S AB 的自由度 f AB f A fB 。
正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素 引起的，因此应是误差引起的。故误差平方和 Se 为 所有空白列的偏差平方和之和。
F0.05 (1,3) 10.13
F AC
S5 / Se /
f5 fe
3828 .13 /1 13.36 859 .39 / 3
F0.05 (1,3) 10.13
故因素 A、B 对试验结果的影响是高度显著的，而交互
作用 A×C 对试验结果的影响是显著的。因素 C、D 和
交互作用 A×B 对试验结果无显著影响。
通过前面的分析可以看出，设计试验时若正交表上 没有空白列，一般不能做方差分析。为了做方差分析 通常是把因素的偏差平方和明显偏小的列作为误差列 来处理，或是取较大的正交表做试验，但这要增加试 验次数，因此在实际问题中应视具体情况采用相应的 数据分析方法。
Se 的自由度为 fe fT 各因素（包括交互作用）的自由度之和
检验第 j 列因素对试验结果是否有显著影响的统 计量是
其中
Fj
Sj Se
~ F( f j,
fe )
S j S j / f j , Se Se / fe
对于给定的显著性水平 ，若由样本观察值计算 出的 Fj F ( f j , fe ) ，则认为该列安排的因素对试验结果 影响显著。否则，认为影响不显著。