浙江工业大学2018-2019一高数期末A

1
xf (x)dx
1t
0
b
3．已知函数 f 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，讨论函数 F(x) | x t | f (t)dt 在 a (a,b) 内的凹凸性。
3
b
4．设 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (x)dx f (b)(b a) ，证明：在 a
(a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) 0
四、（9
分）设函数
F
(
x)
x
t f (t)dt
0
x2
,
0,
x 0 ， 其中 f (x) 有连续的导函数， x0
且 f (0) 0 ， f (0) 3。
（1）讨论 F(x) 在 x 0 处的连续性；
（2）求 F(x) 在 x 0 处的导数；
x
2．
1
xf (x)dx
0
1 x2 f (x) 1
2
0
1 2
1 x2 f (x)dx
0
5分 2分
11
1
2 0 x sin xdx 2 (cos1 sin1)
5分
3．F(x)
x
(x t) f (t)dt
b (t x) f (t)dt x
x
f (t)dt
x
tf (t)dt
x0
lim
x0
x2
f
(x)
2 x3
x
t
0
f
(t)dt
lim 1 f x0 3
(x)
1
F (0)
所以 F(x) 在 x＝0 处连续。
9分
五、试解下列各题(每小题 7 分)
1．交点坐标 A(2(1 p), y) 且 0 p 1，由对称性得所围面积
2(1 p)
A( p) 2
2
pxdx
1 6
1
p2
(1
b
tf (t)dt x
b
f (t)dt
a
x
a
a
x
x
F(x)
x
f (t)dt
b f (t)dt ，F(x) 2 f (x) 0 ，所以 F(x) 在[a,b] 上是凸的
5分
a
x
b
4．由积分中值定理得，在 (a,b) 内存在一点 ，使 f (x)dx f ()(b a) a
b
（或由牛-莱公式及微分中值定理有 f (x)dx F(b) F(a) f ()(b a) ） a
（C） F(x) 是周期函数 f (x) 是周期函数；
（D） F(x) 是单调函数 f (x) 是单调函数。
1
二、计算下列各题（每小题 6 分）：
1．
求： lim x0
tan
x sin x3
x
2．设函数 y
f (x) 由方程 x y 1 sin 2
y
0 所确定，求： dy ， d 2 y dx dx2
从而有 f (b) f ()
3分
再由罗尔定理得，在 (,b) (a,b) 内存在一点 ，使 f ( ) 0 5 分
四、(9 分)
x
（1）由 lim F(x) lim 0 tf (t)dt lim xf (x) 0 F(0)
x0
x0
x2
x0 2x
知 F(x) 在 x 0 处连续。
3分
。
9． f (x) 在 x 0 的邻域内有定义，则 f (x) 在 x 0 处可导的一个充分条件是（ ）
（A） lim f (x) f (x) 存在；
x0
x
（B） lim x[ f (1) f (0)] 存在；
x
x
（C） lim f (1 cos x) f (0) 存在； （D） lim f (ex 1) f (0) 存在。
2018/2019 学年第 1 学期《高等数学》试卷
专业类： 班级： 姓名: 学号:
题号
一
二
三四
五
总分
得分
一、填空选择题（每小题 3 分）：
1．
lim
x
1
1 2x
x
=
。
2．设 y arctan 1 2 x ，则 dy ＝
。
x
dx
3．设 f (x) (x 1)(x 2) (x n) ，则 f (0) ＝
6分
或
V 2
2
(3 x) ydx 2
2 (3 x)(4 x2 )dx
2
2
三、试解下列各题(每小题 5 分)
1． 令 f (x) 2
x
3
1x ，则
f
(x)
1 x2
(x
x 1) 0
当 x 1时 f (x) 单调增加，从而有 f (x) f (1) 0
x 1 3 分
即当 x 1时有： 2 x 3 1
3
（2） f (x) 的极大值、极小值；（3）证明： 26 f (x)dx 36 。 1
5
18/19(一)浙江工业大学高等数学考试试卷参考答案
一、填空选择题(每小题 3 分)
1． e
2．
1 1 x2
1 x
3． n!1 1 1
2
n
4． t 2
6． (2,)
7． 1 e2x x 2
x0
x
x0
x
1
10．函数
f
(x)
(e x
e) tan
1
x
在[ , ] 上的第一类间断点是
x
（
）
x(ex e)
(A) 0；
(B) 1；
(C) ； 2
(D) 。 2
11．设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数，则必有（ ）
（A） F(x) 是奇函数 f (x) 是偶函数；
（B） F(x) 是偶函数 f (x) 是奇函数；
。
3．求不定积分 1 x 1 dx
1 x 1
4．求抛物线 y 4 x2 与直线 y 0 所围成的平面图形绕直线 x 3 旋转一周所成旋
转体的体积。
2
三、试解下列各题（每小题 5 分）：
1．证明当 x 1时有： 2 x 3 1 。 x
2．已知函数 f (x)
x sin tdt ，求
（3）在区间[1,3] 上，最大值 f (3) 18、最小值 f (2) 13
2分 5分
3
3
3
从而有 26 13dx f (x)dx 18dx 36
1
1
1
7分
2
8． 4 2
9．D
10．A
二、计算下列各题(每小题 6 分)
1．lim x0
tan x sin x x3
lim
x0
ta n x (1 co s x ) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
6分
2． dy 2
3分
d 2 y 4sin y
6分
dx 2 cos y
dx2 (2 cos y)3
（3）讨论 F(x) 在 x 0 处的连续性。
4
五、试解下列各题（每小题 7 分）：
1．设抛物线 y2 2 px（ p 0 ）与曲线 (x 1)2 y2 1相交于坐标原点 O 与 A, B 三 点，问 p 为何值时，抛物线与直线 AB 所围图形的面积最大？并求最大面积。
2．已知 f (x) 2x3 ax2 bx 9有两个极值点 x 1, x 2 ，求：（1） a,b ；
3
p)2
0
3
4分
令 A( p) 0 ，得 0 p 1内的唯一驻点 p 1 ，从而可知 4
p 1 时抛物线与直线 AB 所围图形的面积最大，最大值是 3 。 7 分 4
2．（1）由 f (1) 0, f (2) 0 ，可得 a 9,b 12 （2）判别可知 f (x) 的极大值 f (1) 14 、极小值 f (2) 13
5．0 11．B
2分
1
x
（2） F(0) lim F (x) F (0) lim
x0
x
x0
0
tf (t)dt x3
lim
x0
xf (x) 3x2
1 lim 3 x0
f ( x) 1 f x3
(0)
1
6分
（3）
F ( x)
x
2
f
(x)
2 x3
x
t
0
f
(t)dt
,
1,
x0 x0
lim F(x)
3．令 t x 1， dx 2tdt
2分
1 1
x x
1 1
dx
2
t(1 t) 1 t
dt
2
2
t
2 1
t
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dt
6分
4t t2 4 ln |1 t | C1 4 x 1 x 4 ln |1 x 1 | C
4
2
2
4．V 3 4 y 3 4 y dy 0
4分
4
12 0 4 ydy 64
。
4．设
x ln(1 t2 ) y t arctan t
，则
dy dx
＝
。
5．设曲线
y
f
(
x)
在
x0
处与
x
轴相切，则
lim
h0
f
(x0 2h) h
。
6．函数 y x 2ln x ( x 0 ) 的单调增加区间是 。
7． d （
）＝（e2x +1）dx 。
8． 1 cos 2xdx =