随机变量的分布列、期望与方差

<3>.若数据 x1, x2,x3, xn的平均值为 x ,方差为 S 2
数据 x12 , x22 , x32 ,L xn2 的平均值为 x 2
则 S 2 x 2
2
x
特征值的求法
①定义法：…… ②公式法：…… ③图表法： 注1：在频率分布直方图中
<1>众数：最高矩形的中点的横坐标
<2>中位数：左右两边直方图的面积和 各为0.5的点的横坐标
某同学可能取得的成绩
解：能用离散型随机变量表示
1 成绩不及格 2 成绩及格 定义 ξ＝ 3 成绩中 4 成绩良 5 成绩优
ξ＝1表示该同学成绩是不及格 ξ＝2表示该同学成绩是及格 ξ＝3表示该同学成绩是中 ξ＝4表示该同学成绩是良 ξ＝5表示该同学成绩是优
一、随机变量简述： 二、随机变量的分布列：
1.概念：
设离散型随机变量X＝ x1, x2 , x3 ,L , xi L 若X＝ xi (i 1, 2,L ) 对应的概率为 P( xi ) pi
则称表格 X x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi …
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列
注：视随机变量X为自变量，对应的概率P(X)为因变量
(2)《选修2-3》P：49 练习 2
抛掷一枚质地均匀的硬币2次 求正面向上次数的分布列
解：设正面向上的次数为X,由题意得 X＝0,1,2
§114 随机变量的分布列、期望与方差
一、随机变量简述： 二、随机变量的分布列：
1.概念： 2.性质： 3.作用： 4.求法：
三、随机变量的期望与方差：
1.概念： 2.作用(目的)： 3.常用的公式及性质： 4.求法：
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
估计简述
也相互独立
3.判定：
A与B独立 P(AB) P(A)P(B)
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
常用事件的字母表示
① A+B=A∪B ② AB=A∩B
A、B中至少有一个发生 A、B要同时发生
③ AB+ AB
A、B中恰好有一个发生
④ A·B = A+B A·B·C = A+B+C
概率简述
概率 计数
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
古典概型 几何概型 模拟试验
概率总述
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
古典概型 几何概型 模拟试验
繁 (大) 事 件 的 概 率
分类：互斥事件加法公式 分步：独立事件乘法公式
简 (小) 事 件 的 概 率
概率的求法
一、随机变量简述：
1.概念：
将随机试验的每种结果用一变量来表示
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
4.性质：
若ξ为随机变量， 则 aξ+b ；aξ2+bξ+c
|kξ+b|……也为随机变量
练习1、随机变量：
(1)《选修2-3》P：49 A组 Ex1
下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？ 若能，则写出各随机变量可能的取值 并说明这些值所表示的随机试验的结果
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
互斥、对立及独立间的关联
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
A1 ……
A2 Ω
A4 A3
AA Ω
事件的独立性
1.定义：
若 P( AB) P(A)P(B) ,则称事件A与事B相互独立
2.性质：
若事件A与B相互独立，则事件 A与B，A与B ，A与B
定义法
统计定义法 古典定义法 几何定义法 公理化定义法
模拟试验法
物理机械法 计算机(软件)法
性质法
范围性 总和性
性质公式法
加法公式
公式法
乘法公式 和积互补公式
对偶律
概率的性质
1.范围性：0≤P(A)≤1
注：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0 反之则不然
2.总和性：
若Ω＝A1＋A2＋…＋An，且A1，A2，…，An两两互斥
(1).操作步骤： 一变二算三相除 无限等分是前提
注1.三大步骤
S1.将每个基本事件看成点 则A和Ω就变成了线(面,体)
S2.计算出A和Ω的测度
古典概型个数比
S3.套用公式
P(
A)
A的测度 Ω的测度
几何概型测度比 有限无限分水岭
注2.使用的两前提
卅六整点二骰子
①无限性 ②等可能性
旋转问题用角度 模拟试验四大步
极差
只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况 而对其他数据的波动情况不敏感
特百度文库值估计
<1>聚中(稳定)性特征值: 众数,中位数,平均数
<2>离散(波动)性特征值: 极差,方 差,标准差
注：常见的三类估计问题：
①已知 X甲 X乙 ，S甲2 S乙2 ，如何估计…… ②已知 X甲 X乙 ，S甲2 S乙2 ，如何估计…… ③已知 X甲 X乙 ，S甲2 S乙2 ，如何估计……
征位
准
值数 数 数 率 值 差 差 差
作
对 半
个 体
百 分
平 均
平稳 均定
稳稳 定定
水 用平
位 置
比
水 平
水 平
性
性性
<1>聚中(稳定)性特征值:众数, 中位数, 平均数
<2>离散(波动)性特征值:极差, 方 差, 标准差
<3>结构性特征值:
频率, 3δ原则
聚中(稳定)性特征值的作用
平均数
中位数
众数
则 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝1
常用的概率公式
①加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 注：若A，B互斥，则有 P( A B) P( A) P(B)
②乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) 注：若A，B独立，则有 P( AB) P( A)P(B)
一选：
根据题意,灵活准确地选取随机变量所有可能的取值
二算：
根据题意,灵活准确地计算各随机变量相应的概率
三列表:
格式①
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
格式② 格式③
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
1.相同点：等可能性 2.不同点：有限性与无限性 3.个别问题两法均可
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
模拟法求概率
物理机械(实物)法
计算机(软件)法
随机数模拟法 ……法
随机数模拟法
①古典概型：
核心是用整数型随机数代替古典概型中的基本事件
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
①从学校回家要经过5个红绿灯口 可能遇到红灯的次数
②在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中 某同学可能取得的成绩
下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？ 若能，则写出各随机变量可能的取值 并说明这些值所表示的随机试验的结果
①从学校回家要经过5个红绿灯口 可能遇到红灯的次数
解：能用离散型随机变量表示 设遇到红灯的次数为X
<3>平均数：每个小矩形面积乘以小矩形 底边中点的横坐标之和
特征值的求法
①定义法：…… ②公式法：…… ③图表法： 注2：在茎叶图中如何看数据的稳定性
<1>单峰的稳定性大于多峰的稳定性
<2>越对称稳定性越好
<3>峰越瘦越尖，数据更集中，更稳定 峰越矮越胖，数据越分散，不稳定
特征值估计
特中 众 频 频 均 标 方 极
则X的可能取值为 0，1，2，3，4，5
X＝0表示没有遇到红灯 X＝1表示遇到1个红灯 X＝2表示遇到2个红灯 X＝3表示遇到3个红灯 X＝4表示遇到4个红灯 X＝5表示遇到5个红灯
下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？
若能，则写出各随机变量可能的取值
并说明这些值所表示的随机试验的结果
②在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中
A、B都不发生 A、B、C都不发生
⑤ A·B = A+ B
A、B不都发生
A·B·C = A+B+C
A、B、C不都发生
常用词的否定
任意 都是(全是)
至少有1个 至多有1个
存在 不都是(不全是) 1个也没有 至少有2个
× 都不是 (全不是)
√ 不都是
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
即在正常状态下，可以认为：
数据Yi的取值几乎全部集中在区间(μ-3σ, μ+3σ)内
而落在该区间之外的可能性不到3‰
图估计
1.条形图：频率条形图中，纵坐标是频率 2.直方图：频率直方图中，面积是频率 3.频率折线图： 4.密度曲线： 5.茎叶图： 6.扇形图： 7.雷达图……
正态曲线 密度曲线 频率折线图 直方图
x
2
标准差是方差的算术平方根
S 1 (x x) (x x)2 (x x)2
n1
2
2
n
特征值的求法
①定义法：……
②公式法：
<1>.数据x，x，x，…，x的平均值为x，方差为O
<2>.若数据 x1, x2,x3, xn的平均值为 x ,方差为 S 2 则数据 kx1 a，kx2 a，kx3a， kxn a 的 平均值为 k x a ，方差为 k 2 gS 2
特 总体水平 重心点
对半水平 多数水平 中心点 最大集中点
与每一个数据有关 不受极端 无法反映总体水平
征 掩盖了极端情况 情况的影响 只反映多数水平
离散(波动)性特征值的作用
特
征
方差 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定
标准差是方差的变形，只是方差的单位是原数据
标准差 单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同 故标准差的作用与方差的相同
②几何概型：
①0长度型：用1组均匀型的随机数模拟…
②0面积型：用2组均匀型的随机数模拟… 核心是用均匀型随机数代替几何概型中的样本点
§114 随机变量的分布列、期望与方差
一、随机变量简述： 二、随机变量的分布列：
1.概念： 2.性质： 3.作用： 4.求法：
三、随机变量的期望与方差：
1.概念： 2.作用(目的)： 3.常用的公式及性质： 4.求法：
估计
特征值估计
图
估
计
表，式及其他估计
均值,方差,中数… 直方图,茎叶图… 频数表,频率表…
特征值的求法
①定义法：……
方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数
S 2 (x1 x)2 (x2 x)2 (x3x)2 (xn x)2
n
n
(xi x)2
i1 n
1 n
n i 1
xi2
几何定义法(几何概型)求概率
(1).操作步骤：一变二算三相除 无限等分是前提
(2).常见的题型：
<1>按测度分
长度型 面积型 体积型 弧长型 角度型
<2>按事件域分
显式 隐式
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
<3>按问法分: 知二有一
古典概型与几何概型的关联
则解析式 P( xi ) pi ,表格或图像均为X的分布列
一般的，不做说明时，X的分布列，特指表格
一、随机变量简述： 二、随机变量的分布列：
1.概念： 2.性质：
①非负性： pi ≥ 0 , i 1，2，3，L ②规范性： p1 p2 p3 L 1
3.作用：
详细完整的描述了整个随机现象
结构性特征值的作用
①频率：……
② 3δ原则：参《选修2-3》P：79～80
已知某组数据Y1,Y2,Y3,……的平均值为μ,标准差为σ 则在正常状态下，可以认为：
①数值Yi分布在区间（μ-σ, μ+σ)内的概率为0.6826 ②数值Yi分布在区间(μ-2σ, μ+2σ)内的概率为0.9544 ③数值Yi分布在区间(μ-3σ, μ+3σ)内的概率为0.9974
4.求法：
一选二算三列表 三大分布公式法
4.求法：一选二算三列表
一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值 二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率
计算概率常用的方法
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
定义法 模拟试验法 性质公式法
统计定义 古典概型 几何概型
4.求法：一选二算三列表