层次分析法建模解析
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征根法理论意义和实用价值较大
(3)一致性检验: 要求判断矩阵有大体上的一致性是应该的，例如甲比乙 重要，乙比丙重要，丙又比甲极重要，这样就不一致了， 违反常识. 判断矩阵离一致性过于大，近似估计的可靠程度就要值 得怀疑 max n a. 计算一致性指标: C.I . n 1 (此时用特征根法效果最好) b. 查找相应的平均随机一致性指标R.I.
W1 权重向量 W2 W Wn 1 ②根法 n n aij j 1 Wi 1 n n n a kj k 1 j 1
③特征根法
AW maxW
max 为A的最大特征根，一般用和法简单易行，特
( k 1)
Wi ( k )
(k )
i 1,2,, nk
一般 W P P W ，W ( 2 )第二层上元素对总目标 的排序向量， 然后以所给予的综合排序，依次选择方案 。
(2)
( k 1)
参考文献： [1] 谢政、李建平 网络算法与复杂性理论，国防科大出版社， 1995 [2] M.R.加里、D.S.约翰逊 计算机和难解性，科学出版社，1990 [3] F.哈拉里 图论，上海出版社，1980 [4] 陈荣秋 排序的理论和方法，华中理工大学出版社，1987
1.问题的提出 例1.科研中已提出的问题(军事运筹学，以后讲课 中另讲)。 例2.城市能源供应系统改造方案的比较(另一本教 材上)。
2.主要的工作步骤 (1)将决策问题分解成若干层次，各层间的关系用线条 连接，准备讲书上几个例子，科研中的问题（详见参考教 材）。 (2)计算正互反矩阵前进行权重的定量分析。 (3)将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重 进行综合，最终确定对目标层的权重。 3.几项具体的工作 (1)构造两两比较判断矩阵 不妨设上一层元素C为准则，所支配的下一层次的元素 为 C
W
(W1
(k ) 1j
,W2
,,Wnk 1 )
则第k层上的 nk 个元素对第k-1层上的第j个元素为准则的 排序权重向量设为
P
(k )
(k ) j
( P , P ,, P )
(k ) 2j
( k ) T j 1,2,, n k 1 nkj
其中不受j元素支配的元素权重为零，因而
P ( P , P ,, P )
D1
D2 ^^^^ Dn
D1 , D2 ,, Dn
目的是对于准则 C, D1 , D2 ,, Dn 的相对重要性给出相应 的权重: 决策者要反复回答问题: 两两比较法 针对准则C，两个元素 Di , D j 哪一个重要?并按以下标度对 其重要性赋值 标度 含 义 1 表示两个元素相比:具有同样重要性 3 表示两个元素相比:前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比:前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比:前者比后者强烈重要 9 表示上述相邻判断的中间值 2 ，4 ，6 ，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数
1 ( AW ) i 1 j 1 max w i 1 Wi w i 1 Wi
( Aw) i 为Aw的第i个分量
n
n
a W
ij
j
(4)计算各层元素对目标层的合成权重 上面得到是一组元素对其上一层某元素的权重向量，最 终要得到各元素对于总目标的相对权重，特别是要得到最 低层中各方案对于总目标的排序权重. 设已算出第k-1层上 n k 1个元素相对于总目标的排序 ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) T 权重向量
R.I.
矩阵阶 数 R.I
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
c. 计算一致性比例 C. R C. I .
R. I .
d. 决定:当C.R<0.1时，一致性可接受 当C.R 0.1时，判断矩阵要修正 e. 关于 max 有时用和法，不计算特征根时 n 利用
层次分析法建模
层次分析法(AHP方法)是1970年左右美国T.L.Saaty提 出的，主要用以解决各种决策问题、人口、交通、经济、 环境、能源等各种方案的评估问题。 该方法使用比较、判断、评价、决策，由定性到定量 的选择，尽量避免人为的主观因素。 层次分析法的主要步骤： 1.问题的提出 2.主要的工作步骤 3.几项具体的工作
(k ) 1 (k ) 2 (k ) nk 1
， 矩阵 P ( k ) 是 nk nk 1
则第k层上元素对总目标的合成排序向量W ( k ) 为:
W
或
(k )
(k )
(W ,W ,,W ) P W
(k ) 1 (k ) 2 (k ) T nk (k )
n k 1 (k ) ( k 1) P W ij j j 1
称A为正互反矩阵。
(2)单一准则下元素相对权重的计算 对于准则C，得判断矩阵A 求出n个元素 D1 , D2 ,, Dn 的相对权重:W1 ,W2 , 方法 ①和法:
,Wn
1 n aij Wi n n j 1 a kj
k 1
i 1,2,, n
计算步Baidu Nhomakorabea：第一步：A的元素按列归一化 第二步：将归一化后的各列相加 第三步：相加后的向量除以n可得
1 若i与j相比为，则j与i相比为 aij a ji
即有
C
D1 D2 D3 Dn
a11 a12 a13 a1n a 21 a 22 a 23 a 2 n a n1 a n 2 a n 3 a nn
A aij
D1 D2
Dn
1 aii 1 , aij 0 , a ji 其中 ， aij
(3)一致性检验: 要求判断矩阵有大体上的一致性是应该的，例如甲比乙 重要，乙比丙重要，丙又比甲极重要，这样就不一致了， 违反常识. 判断矩阵离一致性过于大，近似估计的可靠程度就要值 得怀疑 max n a. 计算一致性指标: C.I . n 1 (此时用特征根法效果最好) b. 查找相应的平均随机一致性指标R.I.
W1 权重向量 W2 W Wn 1 ②根法 n n aij j 1 Wi 1 n n n a kj k 1 j 1
③特征根法
AW maxW
max 为A的最大特征根，一般用和法简单易行，特
( k 1)
Wi ( k )
(k )
i 1,2,, nk
一般 W P P W ，W ( 2 )第二层上元素对总目标 的排序向量， 然后以所给予的综合排序，依次选择方案 。
(2)
( k 1)
参考文献： [1] 谢政、李建平 网络算法与复杂性理论，国防科大出版社， 1995 [2] M.R.加里、D.S.约翰逊 计算机和难解性，科学出版社，1990 [3] F.哈拉里 图论，上海出版社，1980 [4] 陈荣秋 排序的理论和方法，华中理工大学出版社，1987
1.问题的提出 例1.科研中已提出的问题(军事运筹学，以后讲课 中另讲)。 例2.城市能源供应系统改造方案的比较(另一本教 材上)。
2.主要的工作步骤 (1)将决策问题分解成若干层次，各层间的关系用线条 连接，准备讲书上几个例子，科研中的问题（详见参考教 材）。 (2)计算正互反矩阵前进行权重的定量分析。 (3)将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重 进行综合，最终确定对目标层的权重。 3.几项具体的工作 (1)构造两两比较判断矩阵 不妨设上一层元素C为准则，所支配的下一层次的元素 为 C
W
(W1
(k ) 1j
,W2
,,Wnk 1 )
则第k层上的 nk 个元素对第k-1层上的第j个元素为准则的 排序权重向量设为
P
(k )
(k ) j
( P , P ,, P )
(k ) 2j
( k ) T j 1,2,, n k 1 nkj
其中不受j元素支配的元素权重为零，因而
P ( P , P ,, P )
D1
D2 ^^^^ Dn
D1 , D2 ,, Dn
目的是对于准则 C, D1 , D2 ,, Dn 的相对重要性给出相应 的权重: 决策者要反复回答问题: 两两比较法 针对准则C，两个元素 Di , D j 哪一个重要?并按以下标度对 其重要性赋值 标度 含 义 1 表示两个元素相比:具有同样重要性 3 表示两个元素相比:前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比:前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比:前者比后者强烈重要 9 表示上述相邻判断的中间值 2 ，4 ，6 ，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数
1 ( AW ) i 1 j 1 max w i 1 Wi w i 1 Wi
( Aw) i 为Aw的第i个分量
n
n
a W
ij
j
(4)计算各层元素对目标层的合成权重 上面得到是一组元素对其上一层某元素的权重向量，最 终要得到各元素对于总目标的相对权重，特别是要得到最 低层中各方案对于总目标的排序权重. 设已算出第k-1层上 n k 1个元素相对于总目标的排序 ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) T 权重向量
R.I.
矩阵阶 数 R.I
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
c. 计算一致性比例 C. R C. I .
R. I .
d. 决定:当C.R<0.1时，一致性可接受 当C.R 0.1时，判断矩阵要修正 e. 关于 max 有时用和法，不计算特征根时 n 利用
层次分析法建模
层次分析法(AHP方法)是1970年左右美国T.L.Saaty提 出的，主要用以解决各种决策问题、人口、交通、经济、 环境、能源等各种方案的评估问题。 该方法使用比较、判断、评价、决策，由定性到定量 的选择，尽量避免人为的主观因素。 层次分析法的主要步骤： 1.问题的提出 2.主要的工作步骤 3.几项具体的工作
(k ) 1 (k ) 2 (k ) nk 1
， 矩阵 P ( k ) 是 nk nk 1
则第k层上元素对总目标的合成排序向量W ( k ) 为:
W
或
(k )
(k )
(W ,W ,,W ) P W
(k ) 1 (k ) 2 (k ) T nk (k )
n k 1 (k ) ( k 1) P W ij j j 1
称A为正互反矩阵。
(2)单一准则下元素相对权重的计算 对于准则C，得判断矩阵A 求出n个元素 D1 , D2 ,, Dn 的相对权重:W1 ,W2 , 方法 ①和法:
,Wn
1 n aij Wi n n j 1 a kj
k 1
i 1,2,, n
计算步Baidu Nhomakorabea：第一步：A的元素按列归一化 第二步：将归一化后的各列相加 第三步：相加后的向量除以n可得
1 若i与j相比为，则j与i相比为 aij a ji
即有
C
D1 D2 D3 Dn
a11 a12 a13 a1n a 21 a 22 a 23 a 2 n a n1 a n 2 a n 3 a nn
A aij
D1 D2
Dn
1 aii 1 , aij 0 , a ji 其中 ， aij