方程思想在解题教学中应用案例

方程思想在解题教学中应用的案例
方程思想是指将所研究的教学问题的已知量与未知量之间的数量关系转化为方程(组),从而使得问题解决。

方程思想应用非常广泛,而许多同学在学习中往往见到了方程才想到用方程的思想来解决,事实上,许多题目表面上看是非方程的问题,有的甚至是几何问题,但运用方程的思想来求解,也可以使问题迎刃而解。

下面笔者结合多年的教学经验谈一点粗浅看法。

一、方程思想在代数中的应用
案例1.已知:当x=2时,代数式x2+3ax的值为2008,当x=-1,求(a2x2+334)/a-1674x代数式的值.
分析:本案例通过条件建立方程模型求出a,即可解决。

解:因为当x=2时,所以22+3a×2=2008 即a=334.
∴原式=(3342×12+334)/334-1674×(-1)=2009.
案例2.若■和■是同类根式,求(a+b)ab的值.
分析:已知条件中,没有方程,由同类根式的定义构造出关于a、b 的方程组,求出方程组的解便是问题解决。

解:由同类根式的定义得
a+b=23a+b=4b
解得a=1,b=1
∴(a+b)ab=2
评注:在求代数式的值时,要审清题意,构建方程(组)模型,如案例1构建方程模型,案例2构建方程组模型。

因此在分析题意时,应
引导学生层层分析,逐步寻求关系,从而发现解题思路。

二、方程思想在函数中的应用
案例3.已知抛物线y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)与x轴交于两点
a(x1,0)、b(x2,0)(x1≠x2).
(1)求a的取值范围,并证明a、b两点都在原点0的左侧;
(2)若抛物线与y轴交于点c,且oa+ob=oc-2,求a的值.
分析:(1)二次函数图象与x轴有两个不同的交点时,根的判别式大于0,从而可确定a的取值范围,对(2)运用方程思想来求a的值. 解:(1)∵抛物线与x轴交于两点a(x1,0)、b(x2,0)且(x1≠x2) ∴?驻=(1-2a)2-4a2>0,∴a0,即x1,x2必为同号.
而x1+x2=-(1-2a)=2a-1<1/2-1=-1/2<0
∴x1,x2必为负数.
∴点a(x1,0)、b(x2,0)都在原点o的左侧.
(2)∵x1,x2同为负数,
∴由oa+ob=oc-2得-x1-x2=a2-2
∴a2+2a-3=0
∴a1=-3,a2=1
∵a<1/4且a≠0
∴a的值为-3.
评注:本案例综合了二次函数、韦达定理、一元二次方程根的判别式等相关知识,解题时应抓住二次函数与一元二次方程之间的关系。

思考时可借助图象帮助理解,特别要注意的是a、b两点均在原
点左侧,故oa=-x1,ob=-x2,这点容易被学生忽视,应引起学生高度重视。

三、方程思想在三角函数中的应用
案例4.已知在rt△abc中,∠c=90°,a-b=2,∠a=60°,求c边的长.
分析:本案例如果直接根据勾股定理求斜边c很难求得结果,但退一步用三角函数tana=a/b,然后用方程思想即可解决。

评注:本案例是集几何、三角函、代数于一体的综合题,解这类题时,要能从实际中抽象出纯数学问题,然后利用相关知识解决问题,在平时应注意对常规题进行演变,有针对性地训练。

四、方程思想在几何中的应用
案例5.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角的度数。

分析:本案例主要考查互余、互补的概念,以及列方程、解方程的能力。

因为涉及的知识点较多,所以题目有小综合的特点。

解这道题,首先要弄清题目中一共涉及了几个角,除了要求的角外,还有这个角的补角和这个角的余角。

其次将这些角分别表示出来,然后根据题设中的等量关系,列出方程,最后解这个方程。

解:设所求的角是x°,那么它的补角是(180-x)°,它的余角是(90-x)°,根据题意,列方程,得:(180-x)-3(90-x)=10
解这个方程,得x=50.
答:这个角是50°.
案例6.已知:在正方形abcd中,e、f分别是ab、ad上的点,又ab=12,ef=10.△aef的面积等于五边形ebcdf面积的1/5.求ae、af 的长.
分析:本案例是几何求值综合题,因此要引导学生仔细分析,利用正方形构成直角三角形布列等式,从而得出解题方法。

解得x=8,y=6或x=6,y=8.
即ae=8,af=6或ae=6,af=8.
评注:本案例是由勾股定理及面积关系,建立起方程组,由于题目中未说明ae、af哪条大,因此应有两解。

同时要学生今后注意用方程的思想解应用题是最常用的解题方法,关键是要求学生有较强分析及解决问题的能力,结果还要符合方程和题意的实际情况。

总之,方程思想方法是数学的灵魂和精髓,在数学教学中,要努力渗透方程思想方法,学生在运用数学知识解决问题时,才能自觉运用数学思想方法去分析问题、解决问题,这样提高教学质量就不是纸上谈兵了。

作者单位:南通市如东县实验中学。