韦达定理及其应用同步练习题

韦达定理及其应用同步练习题

一、知识要点

1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a

b x x -=+21， a

c x x =∙21，；补充公式a

x x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x

3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++=++ 二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422

=--x x

2、 已知关于x 的方程02)15(2

2=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

4、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2

12111xy y x

5、 分解因式：

（1）=--2532x x （2）=-+1842

x x

三、练习

1、 在关于x 的方程()()07142

=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值

2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

3、 解方程组⎪⎩⎪⎨

⎧==+23xy y x

4、 分解因式

（1）6542--x x

= （2）=--2222y xy x 四、聪明题

1、 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，

c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。

2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数

2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中

字母系数的值

4.已知两数的和与积，求这两个数

5.已知方程的两根x1，x2，求作一个新的一元二次

方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0

6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c

= a(x- x1)(x- x2)

题1：

（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0

的一根是另一根的4倍，则k= ________

（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0

的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= __________

解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a•5b=30ab

解法二：由题意知

∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0

∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)

=6a•5b=30ab

∵ab=1，a+b=-200

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （ab +2006a+a2)（ab +2005b+b2)

=a(b +2006+a) •b( a +2005+b)

=a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab

解法三：由题意知

∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0

∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)

=6a•5b=30ab

题2：

已知:等腰三角形的两条边a,b是方程

x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另

一条边c=1，

求:k的值。

一、直接应用韦达定理

例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．

分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．

解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．

由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

二、先恒等变形，再应用韦达定理

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．

证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．

由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．

∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．

则z2≤0，又∵z为实数，

∴z2＝0，即△＝0．

于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理