(完整版)全称量词与特称量词

1.4 全称量词与存在量词

学习目标

1. 理解全称量词与存在量词的意义．

2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．

3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

学习重点

全称命题和特称命题真假的判定．

学习难点

对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理

一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。

二、全称命题与特称命题的否定

1、全称命题的否定

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：

全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定⌝p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________

2．特称命题的否定

一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p ：∃0x M ∈，p 0()x ，它的否定

⌝p ：_________________

特称命题的否定是_____________

探究一 全称命题与特称命题的判断

例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：

1、对任意角α，都有1cos sin 22=∂+∂；

2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；

3、∀x ∈R ，2

x －1＝0

4、所有能被3整除的整数都是奇数

5、有的三角形是等边三角形

6、有一个实数α，tan α无意义

方法归纳：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断

例2、判断下列全称命题或特称命题的真假

1、每个指数函数都是单调函数；

2、任何实数都有算术平方根；

3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，sin x ＋cos x ≥2

4、0,00≤∈∃x R x

5、

是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦

2， tan x>sin x 方法归纳：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用

例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：

1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆

2、P ：23,x x N x >∈∀

3、P ：有的菱形是正方形

4、p ：∀x ∈R ，41

2+-x x ≥0；

5、p ：所有的正方形都是菱形；

6、p ：至少有一个实数0x ，使30x ＋1＝0

例4、若命题“200

0,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题，则实数a 的取值范围是________．

方法归纳：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”

B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题⌝p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0

C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题

D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件

2、 下列命题中，真命题是( )

A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2

＋x ＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x 3．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1 000，则⌝p 为( )

A ．∀n ∈N,2n ≤1 000

B ．∀n ∈N,2n >1 000

C ．∃n ∈N,2n ≤1 000

D ．∃n ∈N,2n <1 000

4．下列语句是真命题的是( )

A ．所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立

B ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立

C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直

D ．有一条直线和两个相交平面都垂直

5. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )

A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1

B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1

C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1

D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1

6．下列四个命题中的真命题为( )

A ．若sin A ＝sin

B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0

C ．若lg x 2＝0，则x ＝1

D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3

7．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③

∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N ＋，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．

9. 2,210x R x ax ∀∈-+≥，则实数a 的取值范围是_______________

10．“存在一个实数x 0，使sin x 0>cos x 0”的否定为________．

11．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则a 的取值范围是________．

12．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．

三、解答题

13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线；

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；

(3)有些四边形存在外接圆；

(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．

14.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，求实数a 的取值范围？

15．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．