(完整版)全称量词与特称量词

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1.4 全称量词与存在量词

学习目标

1. 理解全称量词与存在量词的意义.

2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定.

3. 知道全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

学习重点

全称命题和特称命题真假的判定.

学习难点

对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理

一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。

二、全称命题与特称命题的否定

1、全称命题的否定

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面结论:

全称命题p :∀x ∈M ,p(x),它的否定⌝p :_________________ ,全称命题的否定是_____________

2.特称命题的否定

一般地,对于含一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:

特称命题p :∃0x M ∈,p 0()x ,它的否定

⌝p :_________________

特称命题的否定是_____________

探究一 全称命题与特称命题的判断

例1、判断下列语句是全称命题,还是特称命题,并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题:

1、对任意角α,都有1cos sin 22=∂+∂;

2、有一个函数,既是奇函数又是偶函数;

3、∀x ∈R ,2

x -1=0

4、所有能被3整除的整数都是奇数

5、有的三角形是等边三角形

6、有一个实数α,tan α无意义

方法归纳:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断

例2、判断下列全称命题或特称命题的真假

1、每个指数函数都是单调函数;

2、任何实数都有算术平方根;

3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,sin x +cos x ≥2

4、0,00≤∈∃x R x

5、

是无理数,}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦

2, tan x>sin x 方法归纳:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用

例3、写出下列命题的否定,并判断其真假:

1、P :每一个四边形的四个顶点共圆

2、P :23,x x N x >∈∀

3、P :有的菱形是正方形

4、p :∀x ∈R ,41

2+-x x ≥0;

5、p :所有的正方形都是菱形;

6、p :至少有一个实数0x ,使30x +1=0

例4、若命题“200

0,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题,则实数a 的取值范围是________.

方法归纳:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测

一、选择题

1.下列说法正确的是( )

A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为:“若x 2=1,则x ≠1”

B .若命题p :∃x ∈R ,x 2-2x -1>0,则命题⌝p :∀x ∈R ,x 2-2x -1<0

C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题

D .“x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件

2、 下列命题中,真命题是( )

A .∃x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0,π2,sin x +cos x ≥2 B .∀x ∈(3,+∞),x 2>2x +1 C .∃x ∈R ,x 2

+x =-1 D .∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,tan x >sin x 3.已知命题p :∃n ∈N,2n >1 000,则⌝p 为( )

A .∀n ∈N,2n ≤1 000

B .∀n ∈N,2n >1 000

C .∃n ∈N,2n ≤1 000

D .∃n ∈N,2n <1 000

4.下列语句是真命题的是( )

A .所有的实数x 都能使x 2-3x +6>0成立

B .存在一个实数x 使不等式x 2-3x +6<0成立

C .存在一条直线与两个相交平面都垂直

D .有一条直线和两个相交平面都垂直

5. 命题“∃x 0∈(0,+∞),ln x 0=x 0-1”的否定是( )

A .∀x ∈(0,+∞),ln x ≠x -1

B .∀x ∉(0,+∞),ln x =x -1

C .∃x 0∈(0,+∞),ln x 0≠x 0-1

D .∃x 0∉(0,+∞),ln x 0=x 0-1

6.下列四个命题中的真命题为( )

A .若sin A =sin

B ,则A =B B .∀x ∈R ,都有x 2+1>0

C .若lg x 2=0,则x =1

D .∃x 0∈Z ,使1<4x 0<3

7.有下列四个命题:①∀x ∈R,2x 2-3x +4>0;②∀x ∈{1,-1,0},2x +1>0;③

∃x 0∈N ,使x 20≤x 0;④∃x 0∈N +,使x 0为29的约数.其中真命题的个数为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

二、填空题

8.下列命题,是全称命题的是__________;是特称命题的是__________. ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数.

9. 2,210x R x ax ∀∈-+≥,则实数a 的取值范围是_______________

10.“存在一个实数x 0,使sin x 0>cos x 0”的否定为________.

11.若命题“∀x ∈(3,+∞),x >a ”是真命题,则a 的取值范围是________.

12.若“∀x ∈[0,π4],tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为________.

三、解答题

13.用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假:

(1)二次函数的图象是抛物线;

(2)直角坐标系中,直线是一次函数的图象;

(3)有些四边形存在外接圆;

(4)∃a ,b ∈R ,方程ax +b =0无解.

14.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题,求实数a 的取值范围?

15.已知命题p :“至少存在一个实数x 0∈[1,2],使不等式x 2+2ax +2-a >0成立”为真,试求参数a 的取值范围.

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