初三数学函数综合题型及解题方法讲解

2
m 2 m 2
∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时 m＝１,Ａ
(１,１)
∴直线 OA 的一次函数解析式为ｙ＝x
方法提炼：①已知一元二次方程两个根 x1,x2,求|x1-x2|。
因为|x1-x2|= (x1 x2 )2 4x1x2
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根据一元二次方程的求根公式x1 b
b2 2a
4ac
初三数学函数综合题型及解题 方法讲解
二次函数综合题型精讲精练
题型一：二次函数中的最值问题 例 1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值．
y＝x2
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）
（2）∵x＞０，∴ x 1 2 ( x 1 )2 0
x
x
∴ x 1 2, 显然当 x＝１时，才有 x 1 2,
x
x
（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：
∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）
∵ΔAOB 为 RtΔ
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∴OA２+OB２=AB２
一次函数 OA 的函数解析式。
解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３
∴a＝１
∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为 x1,x2 且 x1 - x2 ＝
４
∴ ＝４且 b＜０ x1 x2 (x1 x2 )2 4x1x2 ∴b＝－２
∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴OM+AM=BM+AM
连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小
过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N，
在 Rt△ABN 中，AB=
= =4 ，
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因此 OM+AM 最小值为 ．
方法提炼：已知一条直线上一动点 M 和直线同侧两个固
定点 A、B，求 AM+BM 最小值的问题，我们只需做出
解析：（1）把 A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0） 三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得
解这个方程组，得 a=﹣ ，b=1，c=0
所以解析式为 y=﹣ x2+x．
（2）由 y=﹣ x2+x=﹣ （x﹣1）2+ ，可得
抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB
∴OM=BM
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋
（m２－n２）２
化简得：m n＝－１
∵Ｓ = = ΔAOB
1 OA OB 2
1 m2 m4 n2 n4 2
∵m n＝－１
∴Ｓ ＝ ΔAOB
1 2 m2 n2 1 2 m2 1
2
2
m2
＝ 1 (m 1 )2 1 m 1 1 2 1
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（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MN×OB， ∴S△BNC= （﹣m2+3m）×3=﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m ＜3）； ∴当 m= 时，△BNC 的面积最大，最大值为 ．
方法提炼：因为△BNC 的面积不好直接求，将△BNC 的 面积分解为△MNC 和△MNB 的面积和。然后将△BNC 的面积表示出来，得到一个关于 m 的二次函数。此题利 用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向 下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时， 在顶点处取得最小值。 题型二：二次函数与三角形的综合问题 例 4：如图，已知：直线 y x 3交 x 轴于点 A，交 y 轴 于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0） 三点.
点 A 关于这条直线的对称点 A’，将点 B 与 A’连接起
来交直线与点 M，那么 A’B 就是 AM+BM 的最小值。
同理，我们也可以做出点 B 关于这条直线的对称点
B’，将点 A 与 B’连接起来交直线与点 M，那么 AB’
就是 AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线
段最短。
A
A
B
B
M
或者
;
x2
b
b2 4ac ; 可得到： 2a
x1
x2
b a
;
x1x2
c a
.
② m 1 2, (m o);当m 1时，m 1 2，取得最小值。
m
m
例 3：如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，
0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
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（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合），过 M 作 MN∥y 轴交抛物线于 N， 若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式 表示 MN 的长． （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC， 是否存在 m，使△BNC 的面积最大？若存 在，求 m 的值；若不存在，说明理由．
（1）求抛物线的解析式; （2）若点 D 的坐标为（-1，0），在直线 y x 3上 有一点 P,使 ΔABO 与 ΔADP 相似，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是
解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得 ； 故直线 BC 的解析式：y=﹣x+3． 已知点 M 的横坐标为 m，则 M（m，﹣m+3）、N （m，﹣m2+2m+3）； ∴故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0 ＜m＜3）．
M
A
’
B’
例 2：已知抛物线C1的函数解析式为 y ax2 bx 3a(b 0) ，若抛物 线 C1 经过点 (0, 3) ，方程 ax2 bx 3a 0 的两根为 x1 ， x2 ，且 x1 x2 4 。 （1）求抛物线 C1 的顶点坐标. （2）已知实数 x 0 ，请证明： x 1 ≥ 2 ,并说明 x 为何值时才
x
会有 x 1 2 . x
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（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个
单位后得到抛物线C2 ，设 A(m, y1) ， B(n, y2) 是C2 上的两个不同 点，且满足： AOB 900 ， m 0， n 0 .请你用含有 m 的表达式
表示出△ AOB 的面积 S ，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时