超导电性中BCS理论的物理图像

超导电性中BCS 理论的物理图像

摘要：BCS 理论是从微观的角度来解释超导电性的，其中引入的库珀对的概念是理论的重要组成部分.与此同时，它能够很好的解释，一是传导电子的行为所引起的超导电性以及能隙的概念，二是晶格点阵在超导电性中所起的作用，三是超导体在临界温度时的二级相变，四是迈斯纳效应以及零电阻效应，五同位素效应..BCS 理论与从宏观上直接引入的二流体模型等有着根本的不同，前者更接近于物理实质，后者更倾向与物理现象.

正文：

1、零电阻

超导态的零阻态是一种状态，从物理实质上有别于理想导体的电阻值为零.超导态的零电阻是从实验上观测到的，但严格上讲，我们并不能够精确测定在超导态下的电阻值是否为零.但是我们可以通过理论的解释来说明，在超导态下，导体的电阻值确属为零，也就是说电流在导体内没有衰减.这在二流体模型中或是BCS 理论中是等价的.对理想导体的电阻为零我们可以这样简单的解释：在绝对零度下，晶格的热振动停止，电子可以在晶格间毫无阻碍地自由地穿梭，从而表现为电阻值为零.需要说明的是，这里的金属是无任何杂质和缺陷的.

2、 同位素效应

实验上用X 光观察晶体结构，在金属温度降到临界温度以下时，晶体的晶格结构没有发生任何变化，从这一点讲，超导电性与晶体的晶格结构没有关系.但是从另一些实验上发现，对于给定的元素的不同同位素组成的样品进行测量时，会发现它们有不同的临界温度，并且满足下式[2]：

T ∝M −β （1）

对于不同元素的β值是不同的.这一现象称作同位素效应.

3、 电子比热

对于低温下正常金属的比热有以下关系[3]:

C n =A (T θ)3

+γT （2）

其中A 是常数，T 为热力学温度，γ为索末菲常数.等号右边第一项表明的是晶格对比热的贡献，第二项为传导电子的贡献.若是在超导态下[3]:

C n =A (T θ)3+ae −b/kT （3）

a 、

b 为常数，k 为玻尔兹曼常数.从两式中看出只有第二项发生了变化，也就是说由常态到超导态主要是传导电子的作用.

4、 迈斯纳效应

实验上发现，超导态下，磁场中的导体具有完全抗磁性，称为迈斯纳效应.磁场只能存在于导体表面的以薄层内，而不能深入导体内.感应电流形成的磁场将导体包围，与外磁场相消，使导体内没有磁通量.并且这个效应与形成的过程无关.对于一般导体，若磁通量发生变化，

由法拉第电磁感应定律可知：V=−dΦ

dt =−dB

dt

∙S（4）

在闭合回路内：

V=RI+dI

dt

∙L（5）L为自感.由（4）（5）：

−dB

dt ∙S=RI+dI

dt

∙L（6）

对于理想导体R=0，即

d（BS+IL）

dt

=0（7）

即：

BS+LI=C（常数）（8）

（8）式表明理想导体内的磁通量是不随外外场的变化而变化的，具有初值决定性，也就是说磁通量与导体内的初始值同大小.显然，理想导体中磁场效应与形成过程有关.

5、能隙

金属中的自由电子可以由能级来描述.在绝对零度下，理想导体中电子能级排布由低到高，最后占据的最高能级称作费米能级,用E F表示.在E F以下的能级全被电子占据，而在E F之上为空能级，没有电子分布.这就是金属的基态.实验表明在超导态下的金属中电子与常态下的电子分布相似，但最大的不同是在费米能级上有个宽度为2∆的间隔，称为超导能隙.在能隙下的能级完全被电子占据，在能隙上的为全空,能隙内没有电子分布.这就是超导的基态.电子若要由能级下跃迁到能级上必须有大于2∆的能量.电磁波可以激发电子跃迁到能隙之上，这就要求光子的能量hν>2∆.

（a）超导能隙（b）常态基态

图 1 费米能与能隙

6、电子―声子相互作用

电子和声子的相互作用可以把两个电子耦合在一起，就像两个电子直接作用.相互作用中一个电子发出一个声子，声子被另一个电子俘获.这种传递过程可以把两个电子“吸引”在一起，进而降低两电子的能量，这是超导能隙的来源.吸引的条件就是E1−E1，

图 2 电子——声子

若初始电子的动量分别为P 1，P 2，末态动量分别为P 1‘，P 2‘，声子动量P .则：

P 1=P 1‘−P （9）

P 2=P 2‘+P （10）

综合以上两式，那么：

P 1+P 2=P 1‘+P 2‘ （11）

显然过程初态末态动量守恒.但从能量的视角看，初态到中间态，或是中间态到末态之间的能量不一定守恒.能量的不守恒，是因为这时不确定关系起作用.

7、 库珀对

绝对温度下理想导体的传导电子，占据费米能级下的每个态，只是每个态出现的几率不同.此时的几率分布服从费米—狄拉克分布.而对于动量，若用类似于麦克斯韦速度分布的研究方法就可以得到一个实心的半径为P F 动量球，称作费米海.如果将两个电子放在这个导体中，那么必然是这两个电子的动量都大于P F ，能量大于E F .这是因为值P F ，E F 以下的态都已经被电子占据.若是电子间有“吸引”，必然可以会使能量和低于2E F .这时就可以用简单波函数来描述这两个电子：

φ（P 1，P 2）=∑a ij i ，j φij （P 1，P 2） （12）

显然|a ij |2

就是两个电子动量分别是P i ，P j 的几率.电子能量的最低值在E F 上一定的范围内，根据能量动量之关系E =p 2/2m ，这也就说明动量必须在费米海外Δp 内[3].对于两个电子的动量关系可以用下图来描述.

P 1 P 2 P 1‘ P 2’ P

图3 库珀对动量

由于两电子的动量守恒，那么存在于环域内相交叉的部分的电子是成对耦合出现的，并满足一定条件.可以证明电子对的数目与体积（费米海是三维的）成正比；并且很容易证明在和动量p=0时电子对的数目有一个极大值.同时结合前面耦合电子能降低能量的叙述可知，在两电子动量大小相等方向相反的时候能量降低最大，并且此时的电子自旋一个向上一个向下，总自旋为零.这时候形成的两个电子就是库珀对.同时可以证明[3]在形成库珀对时降低的能量∆E要比电子动量（电子动量在E F之上）引起增加的能量要大.事实上，在略小于E F 的能态上的两个电子也可以形成库珀对，也就是说能量在E F附近的电子均有机会形成库珀对.在超导内，如果动量在p F附近的电子全部都形成的库珀对，使能量达到最低，若是在绝对温度下，就是超导态的基态.此时的波函数就应该简单写成下述形式：

φ

（P1，P2）=φ

12（P1，P2）

φ

34（P3，P4）

…φ

ij（P i，P j）

（13）

显然这里的电子对按照泡利不形容原理是不符合费米—狄拉克分布的，而应为玻色—爱因斯坦分布.由于库珀对的出现，在E F附近的费米面变得模糊，而不再有清晰的分界线；若超导体在基态，必然和没有库珀对的能量值之间有一定的差值，就是2∆，即2∆=∆E，能隙的宽度.

8、BCS理论

BCS理论对超导态的解释，就是以库珀对为基础，超导态的成因就是库珀对的出现.传导电子在正常态下是自由的，而在超导态下就会形成库珀对.为什么形成的电子对，而不是“电子三”或多电子组.BCS理论给出了它的基本假定[3]：“与超导态有关的相互作用仅仅是使任意两个电子形成的库珀对的那些相互作用，而且所有其他电子的存在对于任何一对的影响只是通过泡利原理限制该相互作用着的对可能散射进入的那些态，因为一些态已然被占据.”

9、BCS理论下的部分宏观性质

1、在超导内，传导电子形成了库珀对，整体动量不变；动量形成电流，没有电流时，总动

量为零.那么假设库珀对所涉及的两个电子：

[(P i+p/2)↑，−(P j+p/2)↓]（14）

这相当于每个电子都有p/2的动量移动，总动量为p，并且对于所有的对都一样.若观察者以p/2m运动，显然和总动量为零时看到的情况是一样的.此时电子整体运动，电流由总动量传输，[4]电流密度j=nep/2m.尽管对不断被散射，但总动量守恒，所以电流不变，即是零电阻现象.