10.立体几何(2011-2019高考数学全国二卷分类汇编)

2
（2018-16）. 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45°，若
的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
（2016·14）α、β 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β.
（2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n.
（）
A.α // β 且 l // α
B. 且 l
C. 与 相交，且交线垂直于 l D. 与 相交，且交线平行于 l
（2013·7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)， 画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
的体积为
.
三、解答题
（2019.17）如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE＝A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值．
（2018.20）如图，在三棱锥
中，
（1）证明： 平面 ；
A． 17 27
B． 5 9
C． 10 27
D． 1 3
1
（2014·11）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90º，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ）
A． 1 10
B． 2 5
C． 30 10
D． 2 2
（2013·4）已知 m, n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 .直线 l 满足 l m ， l n ， l ， l ，则
（2016·19）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= 5 ， 4
EF 交 BD 于点 H. 将△DEF 沿 EF 折到△D´EF 的位置，
OD 10 .
D
（Ⅰ）证明： DH 平面 ABCD；
（Ⅱ）求二面角 B DAC 的正弦值.
（3）如果 α∥β，m α，那么 m∥β.
（4）如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.
其中正确的命题有
. (填写所有正确命题的编号.)
（2011·15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB 6, BC 2 3 ，则棱锥 O-ABCD
E
D
A
OH F
B
C
（2015·19）如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1
上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.
4
（2014·18）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB // 平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60º，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积.
（2013·18）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D ， E 分别是 AB ，
A. 2 6
B. 3 6
C. 2 3
D. 2 2
（2011·6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题 （2019-16）．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆 柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）．半正多面体是由两种或两种以上 的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的 所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱 长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
中，
，
，则异面直线 与
为
所成角的余弦值
A.
B.
C.
D.
（2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． 90
B． 63
C． 42
D． 36
（2017·10）已知直三棱柱 C 11C1 中， C 120 ， 2，
C1
B1
A1
D
C
B
A
（2011·18）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面 ABCD. （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.
5
（2）若点 在棱 上，且二面角
，
， 为 的中点．
为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
3
（2017·19）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC 1 AD ， 2
BAD ABC 90o ， E 是 PD 的中点. （1）证明：直线 CE / / 平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45o ，求二面角 M-AB-D 的余弦值
2011 年—2019 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
10．立体几何
一、选择题
（2019-7）．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与 β 平行
B．α 内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
（2018-9）. 在长方体
A.
B.
C.
D.
（2012·7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为（ ）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
（2012·11）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的 正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
C CC1 1，则异面直线 1 与 C1 所成角的余弦值为（ ）
A． 3 2
B． 15 5
C． 10 5
D． 3 3
（2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
23
4 4
·
2016，6
2015，6
2014，6
（2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分
BB1 的中点， AA1 AC CB
2 AB . 2
（Ⅰ）证明： BC1 //平面 A1CD ；
A1
（Ⅱ）求二面角 D A1C E 的正弦值.
C1 B1
E
A
C
D B
（2012·19）如图，直三棱柱
ABC-A1B1C1
中，
AC
BC
1 2
AA1
，D
是棱
AA1
的中点，DC1⊥BD.
（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角 A1-BD-C1 的大小.
体积的比值为（ ）
A． 1 8
B． 1 7
C． 1 6
D． 1 5
（2015·9）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的
ห้องสมุดไป่ตู้
最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零 件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为（ ）