期权定价模型：

期权定价模型

目前期权定价模型主要有两种方法，布莱克－斯科尔斯模型和二项式定价模型。

一、布莱克－斯科尔斯模型

（一）基础知识

1.收益率与价格表示

我们知道，在金融市场中，收益率一般都服从正态分布，价格本身却不服从正态分布。但是，金融资产价格变动与收益率息息相关，那么我们可以在资产价格与收益率之间建立一种联系，以此来获得价格的分布函数。（以股票为例）。

（1）假设股票现价为100元，下一个时期股价涨到110，按照传统的收益率定义方式，此时股票投资收益率为10％

传统定义收益＝。

我们假设投资者先获得一个10％的收益率然后再损失10％，那么投资者是否回到了原来的价格呢？很显然没有。

（2）为了解决诸如（1）中所提到的问题，金融工程中，我们一般用价格比的对数来计算收益率：收益率＝㏑，（1.1）它比单用价格比更一致。这里，S t代表时间t的市场价格，S t+1代表一段时间后的价格。

由公式（1.1）得：S t+1＝S t× （1.2）

运用这种方法，如果第一阶段的收益率为10％，第二阶段的收益率为－10％，初始价格为S0＝100，那么，我们可以得到：

S1＝＝110.52

S2＝＝100.00

这一次价格在上升10％然后下降10％后回到了原来的价位，与一般认为的结果一样。

2.收益率与价格概率分布

我们一般认为收益率服从正态分布，那么价格就服从扭曲的正态分布。如下图一所示，由于价格的表示方法，那么对于初始价格S0，当价格降低时，曲线会逐渐压缩；当价格上升时，曲线会逐渐扩展。

图一随时间变化的价格序列

50 75 100 125 150 175

收益率定义为价格比的对数，并且假定服从正态分布：

㏑～（1.3）

这里，

S0时间0的价格

S t时间t的价格

N（m，s）随机的正态分布，平均值为m，标准差为s

μ 年收益率

σ 收益率的年标准差

由公式（1.3）可以直接推出价格的对数服从正态分布，S0为常数，所以有：

㏑（S t）～㏑（S0）＋（1.4）

即，价格服从对数正态分布，遵循以下关系：

～（1.5）

从公式（1.3）可以得出预期收益率为：

＝（1.6）

我们给出分布图：

图二收益率的正态分布

图三价格的对数正态分布

由概率与数理统计知识，关于期望的对数和对数的期望值之间有如下公式：

㏑（E）＝＋

那么我们可以得出：

＝（1.7）

即预期价格比比从预期收益率导出的价格大。

3.总结

由上讨论，我们有：

（1）收益率应该取价格比的自然对数来定义;

（2）收益率服从正态分布;

（3）价格服从对数正态分布;

（4）预期价格比比从预期收益率导出的价格比大。

（二）期权的布莱克－斯科尔斯定价

1.模型建立

大家都知道期权是赋予权利的一种金融工具，我们用看涨期权对期

权进行讨论。

看涨期权到期日的价值为：

C＝max（S T－X，0）

期权到期日的预期价值为：

E[C]＝E[max（S T－X，0）] （1.8）

其中，E[C]表示看涨期权到期日的预期价值；

S T表示相应基础资产到期日的价格；

X表示期权的协议交割价。

到期日有两种情况，S T＞X或者S T＜X。若S T＞X，表示期权到期

时为实值期权，那么期权到期价值就是S T－X，若S T＜X，表示期权到

期时为虚值期权，那么期权到期价值就是0，如果我们用p表示S T＞X情

况的概率，那么1－p就表示为S T＜X的概率。

公式（1.8）可表示成：

E[C]＝p×（E[S T|S T>X]－X）＋（1－p）×0

＝p×（E[S T|S T>X]－X）（1.9）

这便是看涨期权到期日的预期价值。另我们需对此价格进行折现，得它

的适当价格：

C＝p××（E[S T|S T>X]－X）（1.10）

此式中，C表示期权开始时得适当价格，r表示连续复利得无风险利率，

t表示距到期日得时间长度。

那么为期权定价，得出C，只需要解决两个问题：

（1）算出p，即期权到期日时期权为有利可图期权（S T＞X）的概率；（2）算出E[S T|S T>X]，即期权到期时，期权为有利可图期权时的相关

基础资产的预期价值。

2.计算p

p＝Prob[S T>X]＝Prob[>] ＝Prob[>]＝Prob[收益率>ln（）] （1.11）因为前边提到收益率服从正态分布，对于正态分布：

Prob[x>x1]＝1－Prob[x≤x1]＝1－N[x1]

＝1－N （1.12）

N[…]表示累计正态分布

那么，要求Prob[收益率>ln（）]，就需要找到的期望和标准差。

在此，我们定义r＝μ+ （1.13）

r实际上时连续复利的无风险利率（由风险中立理论得出，可参阅相关书籍）。

由此，上述公式（1.7）改写为＝（1.14）

相对的，公式（1.6）可改写为＝＝（r－）t ＝（1.15）

由公式（1.3）知，的标准差为，即＝。得：

Prob[S T>X] ＝Prob[收益率>ln（）]＝1－N

＝1－N （1.16）

因为是正态分布，由于它的对称性，有1－N[d]＝N[－d]，因此有，

p＝Prob[S T>X]＝1－N＝N（1.17）

3.计算E[S T|S T>X]的表达式，要求把正态分布曲线从X到∞进行微积分。较为复杂，在此只列出它的结果：

E[S T|S T>X]＝S0

（1.18）

在此，

d1＝

d2＝d1－＝－＝

＝（1.19）

同样的，将式（1.19）代入式（1.17），得

p＝N（d2）

4.结果：

把（1.17）和（1.18）代入（1.10），得到完整的看涨期权定价公式：

C＝p××（E[S T|S T>X]－X）＝N（d2）××﹛S0－X﹜

＝S0N（d1）－X N（d2） (1.20)

二、二项式定价模型

二项式模型是建立在“一价定律”基础上的一种理论，我们仍以看涨股票期权来讨论。