2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第十三篇 第1节 相似三角形的判定及有关性质 精品

所获信息 DE∥BC,BD=AD 四边形 BCFD 与 ADCF 均为平行四边形且 BC=AF 解题突破:(1)欲证 CD=BC,需证 CD=AF=BC. (2)欲证△BCD∽△GBD,需证两角对应相等
证明:(1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC.又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连接 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形, 故 CD=AF.因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.
性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的 平方 .
推论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接 圆的面积比等于相似比的 平方 .
3.直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理
定理
内容
判定定理1 如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等,那么它们相似
如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成比例,那么它 判定定理2
DC DB
【教师备用】
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三角形相似的判定
【典例】(2012高考新课标全国卷)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点, 直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
审题指导 关键点
D,E 为中点 CF∥AB
2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理
定理 判定定理1 判定定理2 判定定理3
内容 两角 对应相等,两三角形相似 两边 对应成比例且 夹角 相等,两三角形相似 三边 对应成比例,两三角形相似
(2)相似三角形的性质定理
定理与推论
内容
性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于 相似比 . 相似三角形周长的比等于 相似比 .
们相似
如果一个直角三角形的 斜边 和一条直角边与另一个三角 判定定理3 形的 斜边 和一条直角边对应 成比例 ,那么这两个直角三
角形相似
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ;两直角 边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 .
夯基自测
1.给出下列命题:
又因为 AB∥CD,AO=OD,所以 BO=OC,
所以 OB= 2 BE= 2 ×14=4(cm). 77
4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶3,则∠BCD=
.
解析:由射影定理得 CD2=AD·BD,又因为 BD∶AD=1∶3,令 BD=x,AD=3x,所以
CD2=AD·BD=3x2,所以 CD= 3 x,在 Rt△CDB 中,tan∠BCD= BD = x = 3 , CD 3x 3
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2
所以 AF = EF = AE = AE =4,又 BG=GE,所以 FD FG DG 1 EC 2
BF = BG GF = GE GF = 2GF EF =2× 1 +1= 3 .
EF EF
EF
EF
42
答案:4 3 2
反思归纳 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察 平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性 质、等比性质的运用. (2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特 别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一 边的中点.
①三角形相似不具有传递性;
②两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相似;
③两个三角形相似,则对应线段都成比例;
④相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比.
其中正确的是( C )
(A)①②
(B)②③
(C)③④
(D)①④
解析:①错误,三角形相似具有传递性,即△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2, 则△ABC∽△A2B2C2;
证明:在梯形 ABCD 中,因为 AB=DC,所以∠ABC=∠DCB. 又 BC=BC,所以△ABC≌△DCB. 所以∠BAC=∠BDC,因为 AC∥ED,AD∥BC, 所以∠E=∠BAC=∠BDC,∠EAD=∠ABC=∠DCB, 所以△EAD∽△DCB. 所以 EA = ED ,即 ED·CD=EA·BD.
DB
DB 3
SABC 9
S四边形DBCE 5
3.如图所示,AB∥CD∥EF,AF∩BE=O,若 AO=OD= 2 DF,BE=14 cm,则 BO 等于 3
(D ) (A)3 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)4 cm
解析:因为 CD∥EF,OD= 2 DF,所以 OC= 2 CE,
3
3
(2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG. 由BC=CD知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD. 命题意图:本题主要考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质, 等弧所对的弦以及三角形相似的判定等基础知识,考查了逻辑推理能力, 试题难度中等.
(2) CF = AB . CB AE
证明:(2)因为 BF∥AD,所以 AB = DF . AE DE
又因为 CD∥BE,所以 CF = DF ,所以 CF = AB .
CB DE
CE AE
【例2】 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,DE∥CA,且交BA的延长 线于E, 求证:ED·CD=EA·BD.
【即时训练】 (1)如图所示,D为△ABC中BC边上一点,∠CAD=∠B,若
AD=5,AB=9,BD=6,则DC的长为
.
解析:(1)因为∠CAD=∠B,∠C=∠C,所以△CAD∽△CBA,
所以 AD = CD = AC ,所以 AC= AB CD ,AC= AD BC ,
BA CA BC
AD
AB
所以 AB CD = AD BC .设 CD=x,则 9x = 5 x 6 ,解得 x= 75 .
AD
AB
5
9
28
答案:(1) 75 28
(2)(2014 高考广东卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且
EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 CDF的面积 =
.
AEF的面积
证明:因为∠ACB=90°,DE⊥AC,所以 DE∥BC,所以 BD = AB . CE AC
同理 CD∥EF,所以 CE = AC .因为∠ACB=90°,CD⊥AB, DF AD
所以 AC2=AD·AB.所以 AC = AB ,所以 CE = BD ,所以 CE2=BD·DF.
AD AC
DF CE
所以 AE = AB ,所以 AE = AF ,
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AF AC
AB AC
又∠FAE=∠CAB,所以△AFE∽△ACB,
同理△DFB∽△ACB,△DCE∽△ACB, 所以△AFE∽△DFB∽△DCE.
反思归纳证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等; (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例; (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.
2.如图所示,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,DE∥BC,且 AD =2,那么 DB
△ADE 与四边形 DBCE 的面积比是( C )
(A) 2 3
(B) 2 5
(C) 4 5
(D) 4 9
解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,
因为 AD =2,所以 AD = 2 ,故 SADE = 4 ,所以 SADE = 4 .
②错误,如图,∠B=∠B′,当 AB = AC 时相似;当 AB = AC '' 时不相似;
A'B' A'C '
A'B' A'C '
③正确,两个三角形相似时,对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例;
④正确,如图由相似三角形的定义知∠BAC=∠B′A′C′,∠1=∠2,由直角三 角形相似的判定方法知 Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确.
备选例题
【例1】 如图,在▱ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交AC于G,交BC于F. 求证:(1)DG2=GE·GF;
证明:(1)因为 CD∥AE,所以 DG = CG . GE AG
又因为 AD∥CF,所以 GF = CG .所以 DG = GF ,
DG AG
GE DG
即 DG2=GE·GF.
FC FM MC 2 答案: 1
2
考点二 相似三角形的判定与性质
【例2】 如图,已知△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的高. 求证:△AFE∽△DFB∽△DCE.
证明:因为 CF,BE 分别是 AB,AC 边上的高, 所以∠AEB=∠AFC=90°,又∠FAC=∠EAB, 所以 Rt△AEB∽Rt△AFC,
选考部分 第十三篇 几何证明选讲(选修4—1) 第1节 相似三角形的判定及有关性质
最新考纲 1.理解相似三角形的定义与性质,了解 平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角 形射影定理.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其他直线上截 得的线段 也相等 . (2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边 . ②经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰 . (3)平行线分线段成比例定理及其推论 ①三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段 成比例 .
所以∠BCD= π . 6
答案: π 6
5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在边AB,CD上分别取E,F,
使AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF=
.
解析:连接 AC 交 EF 于 P, 因为 AE∶EB=3∶2, 所以 AE∶AB=3∶5. 所以 EP∶BC=3∶5,因为 BC=15 cm, 所以 EP=9 cm,同理 PF=3.2 cm. 所以 EF=12.2 cm.
【即时训练】 如图,在△ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 E 是 BD 的中点,AE 交
BC 于点 F,则 BF 的值为
.
FC
解析:过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. 因为点 E 是 BD 的中点,所以在△BDM 中,BF=FM, 又点 D 是 AC 的中点,所以在△CAF 中,CM=MF, 所以 BF = BF = 1 .
解析:(2)由题意可知△AEF∽△CDF,
所以 AE = AE = AE = 1 ,所以 CDF的面积 =( CD )2=9.
CD AB AE EB 3
AEF的面积 AE
答案:(2)9
考点三 直角三角形中的射影定理 【例3】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,EF⊥AB于F. 求证:CE2=BD·DF.
答案:12.2 cm
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平行线截割定理及应用
【例 1】 如图△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 在 CA 上且
AE=2CE,AD,BE 交于 F,求 AF =
, BF =
.
FD
FE
解析:取 BE 的中点 G,连接 DG,在△BCE 中,因为 D,G 分别为 BC,BE 的中点, 所以 DG∥EC,且 DG= 1 EC.又因为 AE=2CE,DG∥EC,
反思归纳(1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角 三角形中,要确定好直角边及其射影. (2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化,同时注意射影定 理的其他变式.
【即时训练】 如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. 求证:AE·AB=AF·AC.
证明:因为AD⊥BC,所以△ADB为直角三角形. 又因为DE⊥AB,由射影定理知,AD2=AE·AB. 同理可得AD2=AF·AC,所以AE·AB=AF·AC.