第一章数学的起源与早期发展

哪里有数，哪里就有美
--------普洛克拉斯（古希腊）
如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状.
--------庞加莱(法)
第1章数学的起源与早期发展
§1.1 数与形概念的产生
一、数概念的产生
最早的数量概念是“有”与“无”。

人类关于数概念认识的第一次飞跃是从“有”中分辨出“多”与“少”。

人类关于数概念认识的第二次飞跃是从多与少中分离出具体数目。

这一过程大体经历了如下五个阶段：
第一阶段为“身体指代”（或“它物指代”）阶段；
第二阶段为“集合指代” 阶段；
第三阶段为“刻痕记事” 阶段；
第四阶段是语言表达阶段；
第五阶段是科学记数阶段。

科学记数法三要素：数字符号、基数、记数法则。

历史上，2、3、4、5都曾被用作原始的数基；12、16、20、60也曾被用作数基；但使用最多的还是以10为基数的记数法。

各民族记数法介绍：
公元前3500年，古埃及人创造的象形文字中就出现以10为基数的数字符号：
记数法则为加法法则（从右往左）。

古巴比伦人的楔形文字：
公元前2500年，古巴比伦人用三角形硬笔在泥板上倾斜刻字：
古巴比伦人的楔形文字中有两个基本数字符号：
巴比伦人采用混合基记数法：60以下的数采用10为基，记数法为加法法则；对大于60的数，采用60为基的位置制记数法。

古希腊人开始时学习埃及的记数方法，公元前5世纪左右创立自己的数字系统，分别用Δ
字母I H X M
表示1、10、100、1000、10000，用字母∏或( Γ) 表示5，记数采用加法法则（显然以10为基）。

受希腊记数法影响，形成的罗马记数法，采用字母表示数，且保留了五进制痕迹。

它共
有七个基本数字符号： 记数方法为加减法则：相同符号并列，对应数相加；不同符号并列，左大则相加，左小则相减（右减左）。

对较大的数，在字母符号上加一横线，表示该数扩大1000倍。

居住在墨西哥尤卡坦半岛的玛雅人，远古时代创造了灿烂的文化。

他们的数字符号只有两个：“•”（豆子、玉米或卵石）和“—”（豆荚或枝条），分别表示1和5。

采用20进位制，用加法法则（书写时自上而下）。

印度人大约在公元前三世纪创造出自己的计数符号，最迟从公元六世纪开始就已经普遍使用十进制的位置制计数法了。

这是印度数学的一个重要成就。

采用位置制，必须有一个表示空位的符号，大约公元三、四世纪，印度人开始用一个点表示空位，最迟到公元六世纪又改进为用一个圆圈表示。

数学史界公认数字0是印度人发明的。

这是印度人对世界数学的又一大贡献。

印度人的十进位置制数码于公元七世纪传入中国、美索不达米亚等地，八世纪传入阿拉伯地区，后又经阿拉伯传入欧洲，一直形成今天通用的印度——阿拉伯数码。

下图给出了这些数码的演变经过：
我国大约在六千年前的新石器时代就出现数字符号，到了商代（约公元前16~前11世纪）已经形成十进制数字符号系统，采用加法法则计数。

到春秋战国时期（公元前770~前221年）我国出现出现了筹算数码，这种数码分为两种：
其计数方法为：“先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”。

（《孙子算经》）这表明我国是世界上最早采用十进制位置制计数法的国家。

二、形概念的产生
1510501005001000
I V
X L C D M
现实世界很早就为人类展示了各种不同的物体形态：圆的月亮、平的水面、直的树干，各种形状的石头、贝壳等等。

这些都为人们提供了形成图形概念的现实原型。

然而人类从这些不同物体的不同形态中抽象出具有共性的图形概念却是经过长期劳动实践才得以完成的。

人类在与自然界的搏斗中学会了制造劳动工具。

人们制造出一边厚一边薄的石斧，一头粗一头细的骨针，以及弯的弓、直的箭的过程也就是向自然界学习，从自然界中提取几何形式、形成图形概念的过程。

此外，在建筑住房、圈划土地、制造陶器及各种装饰品时，进一步建立并完善了各种图形概念。

在图形概念形成的基础上，人类进一步产生了度量（长度、面积、体积等）的概念以及对几何图形性质的认识与应用，这就导致了经验几何学的诞生。

据考证，古埃及的几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。

“Germetry”的希腊文意即“测地术”。

古代印度的几何学与宗教、祭坛及寺庙建造有关。

中国古代的几何学则起源于天文观测与农业生产。

所有科学,包括逻辑和数学在内,都是有关时代的函数--------所有科学连同它的理想和成就统统都是如此.
--------E.H.穆尔(美)
§1.2 古埃及数学
一、古埃及历史文化简介
古埃及位于非洲大陆东北部，尼罗河中下游流域。

约公元前4000年分为上埃及与下埃及南北两个不同王国，长期争战。

约公元前3100年完成南北统一，形成统一的奴隶制国家，建立埃及第一王朝，定都于下游的孟斐斯。

历经2500多年，于公元前525年被波斯人征服。

后又屡遭希腊、罗马、阿拉伯、土耳其等外族入侵。

尤其是公元前332年亚历山大大帝占领埃及，推翻最后一个埃及王朝（第31王朝）为止，古埃及文明宣告结束。

古埃及人生活在尼罗河中下游的主要河谷地带。

每年6月至9月，尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，洪水退落后留下肥沃的淤泥。

国王（法老）组织人对土地重新测量，以便重新划分土地给奴隶耕种，收取租金。

一般历史学家认为这就导致了古埃及几何学的诞生。

古埃及宗教深信，人死后若保存尸体不腐并具备一切生活用品，则还可以继续活下去。

于是他们将尸体制成木乃伊，每个法老生前都为自己建造坟墓。

坟墓原来建为石砌的长方体，从第四王朝（约公元前2900年）后改成现在举世闻名的金字塔。

古埃及人所用的书写工具为纸草，文字为象形文字（产生于公元前3500年，约公元前2500年简化为易书写的“僧侣文”）。

二、古埃及数学
现今对古埃及数学的认识，主要根据两本用象形文字写成纸草书。

一部叫莱因德（又称莱因特或兰德）纸草书；另一部叫莫斯科纸草书（也称戈列尼雪夫纸草书）。

这两部纸草书都是各种类型的数学问题集。

1、古埃及的算术与代数：
（1）以10为基数的记数法（加法法则）；
（2）单位分数的广泛使用；
（3）计算的迭加法；
（4）解方程的假位法。

古埃及人的代数知识涉及一次、二次方程，简单的算术级数、几何级数。

总的说较繁琐。

2、古埃及的几何学
古埃及人已知计算矩形、三角形、梯形面积的正确方法。

他们可能知道勾股定理。

他们把圆面积表为 （d 表直径），相当于取圆周率 。

埃及人用底面积3.1605π≈289d ⎛⎞⎜⎟⎝⎠
乘以高计算直棱柱体积，计算正四棱锥体积用到相当于今天的公式： ，这是古埃及几何中最出色的成就。

古埃及的几何为经验几何，古埃及的数学为实用数学。

无推理，无一般性定理，更无证明。

别把数学想象得那么困难和艰涩，认为它排斥常识。

数学仅仅是常识的一种微妙的形式。

--------L.凯尔文
§1.3 古巴比伦数学
一、古巴比伦历史文化简介
古巴比伦位于西亚阿拉伯半岛东北部，底格里斯河与幼发拉底河两河流域地区（大约今伊拉克），也称美索不达米亚地区。

公元前4000年，这里居住着苏美尔人、阿卡德人。

他们于公元前3000多年开始建立城邦国家并创造了文字，开创了西亚的上古文明。

长期以来苏美尔人、阿卡德人、阿摩利人等互相争战。

公元前19世纪，阿摩利人以巴比伦为都城，建立了古巴比伦王国。

公元前17世纪末古巴比伦王国完成两河流域南北统一，建立起奴隶制中央集权国家，达到全盛时期。

后又历经亚述帝国和新巴比伦王国时期。

公元前538年，波斯人攻陷巴比伦城，巴比伦王国被并入波斯王国。

公元前331年，巴比伦被马其顿的亚历山大占领，直到公元前2世纪巴比伦城被彻底毁坏为止，巴比伦文明前后持续约1500年。

巴比伦的文字为楔形文字，用尖芦管在湿泥板上刻写，然后将泥板晒干或烘干，称泥板文书。

现已出土约50多万块巴比伦泥板文书，这是了解古巴比伦文明的主要文献。

二、古巴比伦数学：
现存泥板文书中有关数学内容的仅300多块，对其解读始于20世纪20年代。

1、古巴比伦的算术与代数：
（1）六十进位制与位置制记数法：这是古巴比伦人对人类文明史的两大贡献。

（2）较高的计算技巧：巴比伦人表现出发展程序化算法的熟练技巧。

（3）各种数表的使用：巴比伦人用各种数表（包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至指数表、对数表）来进行计算。

（4）代数方程的解法：代数方面巴比伦人远远超过埃及人。

埃及人只会解一次方程和简单的二次方程，巴比伦人已会用特殊方法解二次方程、三次方程、四次方程、简单指数方程和二元方程组。

（5）级数方面：巴比伦人已形成算术级数、几何级数的概念，并给出许多级数求和公式。

2、古巴比伦的几何：
古巴比伦人的几何成果远不如代数方面辉煌，甚至不如埃及人。

他们已有简单的几何图形（矩形、直角三角形、直角梯形等）面积的经验公式，已懂得用比例线段求三角形和梯形面积。

他们会求圆柱和棱柱体积，已经广泛使用勾股定理，会求正方形和矩形的对角线长，已非常熟悉等分圆周的方法，计算圆的周长与面积时取3π= ，能计算截圆锥体、截棱锥体体积。

天文观测使巴比伦人产生了三角学的基础概念。

巴比伦数学与埃及数学一样，属经验的实用数学，无一般性理论，但有一些一般性的算法，其主要成就在代数方面。

思考题：
1、（1）证明： ， 其中 （2）求 （n 为奇数）表为两个单位分数和的表达式。

()223h V a a b b =++11z pq pr qr =+p q r z +=2n
（3）用三种不同方法，将 表为两个不同的单位分数之和。

2、用埃及人的迭加法计算：
（1）
（2） （3）
3、用巴比伦人的方法求
的有理近似值（保留3位小数）。

2
993366×1
03628÷211103530⎛⎞×++⎜⎟⎝⎠。