第2讲数形结合思想

2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何性质的转换 必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的 局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只 能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代 数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.
如图所示，
当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，
当直线g(x)＝kx过A点时斜率为
1 2
，
故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(1 ， 2
1答).案 B
用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、
对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一
种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边
(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合. 具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要 选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好 转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值 范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与 定二次曲线.
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的 大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最 值问题和证明不等式.
维 升
置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避
华 免烦琐的运算，获得简捷的解答.
变式训练2
(1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋ m≥0} ， 则 使 A⊆B 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _解__析____集. 合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合， 集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的 点的集合，
(2)若不等式|x－2a|≥
1 2
x＋a－1对x∈R恒成立，则
a的取值范围是_－__∞__，__21_ .
解析
作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
x＋a－1的简图，
依题意知应有2a≤2－2a，故a≤
1 2
.
求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的
图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两
思 个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位
(5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研 究最值问题. (7)构建方程模型，求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方 法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的 训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注 意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝
x2＋4x＋2，x≤0， 2， x>0.
作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象
如图所示，
由图可得交点有3个.
答案 C
热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}， 且 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 若 f(1) ＝ 0 ， 则 满 足 x·f(x)<0的x的取值范围是_(－__1_,_0_)∪__(_0_,_1_) . 解析 作出符合条件的一个函数图象 草图即可， 由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是 (－1,0)∪(0,1).
热点一 利用数形结合思想讨论方程的根
例 1 (2014·山东)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，
若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取
值范围是( )
A.(0，12)
B.(12，1)
C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的 个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有 时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两 个函数的图象，由图求解.
热点分类突破
➢ 热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 ➢ 热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 ➢ 热点三 利用数形结合思想解最值问题
的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉
思
维 时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，
升 华
然后在同一坐标系中作出两个函数来自百度文库图象，图象
的交点个数即为方程解的个数.
变式训练1
设函数 f(x)＝x22，＋bxx＋>0c，，x≤0， 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为( )
要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含 (如图)， 即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离 (在圆的下方)， 而当直线与圆相切时有|m＋21|＝1， 又 m>0，所以 m＝ 2－1，
故 m 的取值范围是 m≥ 2－1.
答案 [ 2－1，＋∞)
(2)若不等式 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为区间[a，b]，且 b －a＝2，则 k＝____2____.
解析 令 y1＝ 9－x2，y2＝k(x＋2)－ 2， 在同一个坐标系中作出其图象，
因 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为[a，b]
且 b－a＝2.
结合图象知 b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2).
又因为点(－2，－
2)在直线上，所以
第2讲数形结合思想
第 2讲 数形结合思想
思想方法概述 热点分类突破 真题与押题
思想方法概述
1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形 ”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段， 数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.