十秒钟求二项展开式常数项

十秒钟求二项展开式常数项

让人意想不到的解法，直接写出二项展开式的常数项！

1. 求31521()x x

+展开式中的常数项. 一般解法：3154551151521()(),45509,r r r r r r T C x C x r r x

--+==-=⇒= 所以915C 即为答案.

◆(速解法) 只看x 的次数（就是看x 是几次方，次数的正负我们不管） x 的次数之比3:2→（调换位置）2:3:5 (2+3=5,所以写5,5的下方写上15) （根据对应比例相等写上） 6:9：15

所以答案是 615C

（变式）求3152

()b ax x +展开式中的常数项. 解：a 是第一个的系数，b 是第二个的系数，答案为615

C 69a b

2. 求203()b a x x

+展开式中的常数项. 解：11:2:33:2:512:8:2032

=→↔，故答案为1220C 128a b 3. 31()n x x

+展开式中存在常数项，n 可能是（ ） A . 6 B. 7 C. 8 D. 9

解：1:11:33:1:43

=→，n 一定是4的倍数，选择C.

4. 求4921()x x

+展开式中的常数项. 解：4:2=2:1 1:2:33:6:9→↔，故答案为39C

◆ 高考题

1.（2008山东，理）1231()x x -

展开式中的常数项为 A.-1320 B.1320

C.-220

D.220 一般解法：3641231121231()()(1)r r

r r r r r T C x C x x

--+=-=-,由36409,3r r -=⇒= 9931212(1)220C C ∴-=-=- 故选C. ◆（速解）11:3:11:3:43:9:123

=→↔，故答案为339121(1)220C -=-

2.(2008湖北，文2) 31021(2)2x x

-的展开式中常数项是 A.210 B.1052 C.14

D.-105 解：3:22:3:54:6:10→↔，故答案为4461011052()22

C -= , 选B

3.（2008江西，文8） 10101(1)(1)x x

++展开式中的常数项为 A ．1 B ．1210()C C ．120

C D ．1020C 解：10101020111(1)(1)(2)()x x x x x x

++=++=+, 11:1:11:1:210:10:2022

=→↔,故答案是D

4.（2007浙江，文6）91()x x

-的展开式中常数项是 A.-36 B.36 C.-84 D.84 解：1:11:22:1:36:3:92

=→↔,故答案为66391(1)84C -=- ,选C

5. （2007全国Ⅰ，理10）21()n x x

-的展开式中，常数项为15，则n= A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

解：2:11:2:3→，n 必是3的倍数，排除B ，C

验证选项A ，假设A 对，常数项为11231(1)315C -=≠ ，排除A ，选D

6. （2007重庆，理4）若n x

x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）

A.10

B.20

C.30

D.120

解：（一般解法）662166264 6..n r r r r r r n T C x x C x ---+=⇒=⇒=⋅=

346620320.r r T C ⇒-=⇒=∴== 选B

（速解）2646n n =⇒=, 1:11:1:23:3:6→↔，所以答案是3620C =.

7. （2007安徽，理12）若31(2)n x x

+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 解：13:6:11:6:72

=→,n 必为7的倍数，故答案是7

8. （2007,福建）261()x x

+的展开式中常数项是 .（用数字作答） 解：2:11:2:32:4:6→↔，故答案为2615C =

9.(2005全国Ⅰ，理)9)12(x x -的展开式中，常数项为 （用数字作答）

解：11:

2:11:2:33:6:92

=→↔,故答案为33692(1)672C -= 10. (2004湖南,文) 92)1(x

x +的展开式中的常数项为___________(用数字作答) 解：2:11:2:33:6:9→↔，故答案为3984C =

11. 若二项式2*31(3)()2n x n N x

-

∈的展开式中含有常数项,则n 的最小值是（ ） A . 4 B.5 C. 6 D.8

解：2:33:2:5→，n 必是5的倍数，选B

12.(2004浙江，理7)若32()n x x

+展开式中存在常数项,则n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 解：11:3:22:3:523

=→,n 必为5的倍数，选C.

13. （2005天津）二项式103)1

(x x -的展开式中常数项为__________(用数字作

答)． 解：11:2:33:2:56:4:1032

=→↔，6410(1)210C ∴-= 为所求.

14.（2010四川）44()x x

-的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 解：1:11:1:22:2:4→↔，故答案为22443(2)42421

C ⨯-=⨯=⨯

（15）（2006福建）61(2)x x

-的展开式中的常数项为______________(用数字作答)

解：1:11:22:1:34:2:62

=→↔，故答案为44262(1)240C -=

16.在31()2n x x

-的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为___________

解：1582n n +=⇒=, 11:3:11:3:42:6:83=→↔ ,答案为22681()(1)72

C -= （注：二项式系数是指k n C ,求二项式系数最大的项，当n 为奇数时,中间两项的

二项式系数最大；当n 为偶数时,中间两项的二项式系数最大，中间一项的二项式系数最大.）