2020版高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题

附： K 2＝
n ad－bc 2
，其中 n＝a＋b＋ c＋d.
a＋b c＋ d a＋ c b＋ d
P( K2 ≥ k)
0.050 0.010
0.001
k
3.841 6.635 10.828
[ 解 ] (1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；
实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．
3． 离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新 颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率
分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
六 概率与统计中的高考热点问题 [ 命题解读 ] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应 用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．
2． 概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统 计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归 分析与独立性检验的考查．
(2)若每株葡萄树的年产量不低于 45 kg，则认为“产量高”， 否则认为“产量一般”． 请根据此样本完成此 2×2 列联表， 并据此样本分析是否有 95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；
产量高 产量一般
对照组
实验组
合计
合计
(3)从“产量高”的数据中随意抽取 3 株做进一步科学研究中，计算恰好有 2 株来自实验组的概率．
(1)依据图中数据计算相关系数 r(精确到 0.01) ，并据此判断是否可用线性回归模型拟合 性相关程度很高，可用线性回归模型拟合 )
y 与 x 的关系． (若 |r |＞ 0.75，则线
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照 量 X 限制，并有如下关系：
50 所以商家在过去 50 周的周总利润的平均值为 4 600 元．
[ 规律方法 ] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于
r 和 的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较
大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度
.
2.有关独立性检验的问题的解题步骤： 1 作出 2×2 列联表； 2 计算随机变量 K2 的值； 3 查临界值，检验作答 .
对 照 12 15 21 23 26 24 35 35 34 32 51 52 49 46 43 53 44 61 63 43 组
实 验 23 32 34 36 42 41 51 59 46 43 43 45 52 67 65 65 62 56 55 58 组
(1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小 (不要求计算出具体值，得出结论即可 ) ；
科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施， 某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．
为
验证该技术的效果， 该果农选择 40 株葡萄树进行试验， 其中 20 株不进行任何处理， 记为对照组， 另外 20 株采用新技术培养，
记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这
40 株葡萄树的年产量数据 ( 单位： kg) ．
相关系数公式： r ＝
，
参考数Biblioteka Baidu： 0.3≈ 0.55， 0.9≈0.95.
–
–
[解]
(1)由已知数据可得
x
＝
2＋
4＋
5＋ 5
6＋
8 ＝
5，
y
3＋ ＝
4＋
4＋ 4 5
＋
5 ＝
4.
––
因为
(xi－ x )( yi－ y ) ＝(－3) ×(－ 1)＋ 0＋0＋ 0＋ 3×1＝6，
＝ －3 2＋ － 1 2＋ 02＋ 12＋32＝ 2 5，
2
(2)完成 2×2 列联表如下表所示：
产量高
对照组 7
实验组 12
合计 19
产量一般
13
8
21
合计
所以 K2 的观测值
40× 7× 8－ 12×13 k＝ 20× 20× 19× 21
2
≈ 2.506＜ 3.841.
20
20
40
所以没有 95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．
(3)记事件 A 为“ 这 3 株中恰好有
【例 1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去
50 周的资料显示，该基地周光照量 X (单位：小时 )都
在 30 小时以上， 其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周．根据统计，
该基地的西红柿增加量 y(单位：千克 )与使用某种液体肥料的质量 x(单位：千克 )之间的对应数据如图所示．
＝ － 1 2＋02＋ 02＋ 02＋ 12＝ 2，
1
所以相关系数 r ＝
6 ＝ 2 5× 2＝ 0.9≈0.95.
因为 |r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(2)由条件可得在过去 50 周里， 当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元 )． 当 50≤ X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元 )． 当 30＜ X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元 )． 所以过去 50 周的周总利润的平均值为 1 000×10 ＋5 000 ×35＋9 000×5＝ 4 600(元 )，
周光照量 X /小时
30＜ X＜50
50≤X≤ 70
X＞ 70
光照控制仪运行台数
3
2
1
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为
3 000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台
光照控制仪周亏损 1 000 元．若商家安装了 3 台光照控制仪，求商家在过去 50 周的周总利润的平均值．